Exercício 2.(2.5 pontos) Considere o conjunto
D=(x, y) in R^2: 0 <= x^2+y^2 <= 4,-x <= y <=(raiz3 / 3) x, x >= 0
(b) Calcule a integral integral duplaD ln (x^2+y^2) dA.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral dupla de ln(x^2+y^2) sobre o conjunto D definido por algumas condições. Estamos trabalhando com cálculo multivariável, especificamente com integrais duplas. Para resolver isso, vamos precisar usar coordenadas polares, já que a função envolve x^2 + y^2, o que facilita a integração nesse sistema de coordenadas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor o conjunto D. Ele é definido por:
  • 0 <= x^2 + y^2 <= 4: Isso significa que estamos considerando pontos dentro de um círculo de raio 2 centrado na origem.
  • -x <= y <= (raiz3/3)x: Essas são inequações que definem faixas de ângulos no plano.
  • x >= 0: Estamos apenas no lado direito do plano cartesiano.
Como a função e os limites envolvem x^2 + y^2 e condições em x e y, vamos converter tudo para coordenadas polares, onde x = rcostheta e y = rsintheta.

Passo 3

Em coordenadas polares, x^2 + y^2 = r^2. A integral que queremos calcular fica:
integral duplaD ln(r^2) , r, dr, dtheta
Aqui, r, dr, dtheta é o elemento de área em coordenadas polares.

Passo 4

Agora, precisamos determinar os limites de integração para r e theta.
  • Para r: Como 0 <= r^2 <= 4, temos 0 <= r <= 2.
  • Para theta: As inequações -x <= y <= (raiz3/3)x se transformam em -1 <= tantheta <= raiz3/3. Resolvendo para theta:
    • tantheta = -1 corresponde a theta = -pi/4
    • tantheta = raiz3/3 corresponde a theta = pi/6
Como x >= 0, theta varia de -pi/4 a pi/6.

Passo 5

Com os limites definidos, nossa integral fica:
integral-pi/4^pi/6 integral0^2 ln(r^2) , r, dr, dtheta
Podemos simplificar ln(r^2) para 2ln r:
integral-pi/4^pi/6 integral0^2 2ln r , r, dr, dtheta

Passo 6

Vamos resolver a integral interna em relação a r:
integral0^2 2ln r cdot r, dr
Fazemos uma substituição: seja u = ln r, então du = 1r dr.
Mas, de forma mais direta, usamos integração por partes, onde:
  • u = ln r Rightarrow du = 1r dr
  • dv = 2r, dr Rightarrow v = r^2
Aplicando integração por partes:
uv - integral v, du = ln r cdot r^2 - integral r^2 cdot 1r dr = r^2 ln r - integral r, dr = r^2 ln r - r^22
Avaliado de 0 a 2:
(4 ln 2 - 2) - (0 - 0) = 4 ln 2 - 2

Passo 7

Agora, a integral externa em relação a theta:
integral-pi/4^pi/6 (4 ln 2 - 2) , dtheta = (4 ln 2 - 2) cdot ( pi6 + pi4 ) = (4 ln 2 - 2) cdot 5pi12

Resposta

A integral dupla é igual a 5pi12 (4 ln 2 - 2).

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