Exercício 2.(2.5 pontos) Considere o conjunto
(b) Calcule a integral
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral dupla de
sobre o conjunto
definido por algumas condições. Estamos trabalhando com cálculo multivariável, especificamente com integrais duplas. Para resolver isso, vamos precisar usar coordenadas polares, já que a função envolve
, o que facilita a integração nesse sistema de coordenadas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor o conjunto
. Ele é definido por:
-
: Isso significa que estamos considerando pontos dentro de um círculo de raio 2 centrado na origem. -
: Essas são inequações que definem faixas de ângulos no plano. -
: Estamos apenas no lado direito do plano cartesiano.
Como a função e os limites envolvem
e condições em
e
, vamos converter tudo para coordenadas polares, onde
e
.
Passo 3
Em coordenadas polares,
. A integral que queremos calcular fica:
Aqui,
é o elemento de área em coordenadas polares.
Passo 4
Agora, precisamos determinar os limites de integração para
e
.
- Para
: Como , temos . - Para
: As inequações se transformam em . Resolvendo para : -
corresponde a -
corresponde a
-
Como
,
varia de
a
.
Passo 5
Com os limites definidos, nossa integral fica:
Podemos simplificar
para
:
Passo 6
Vamos resolver a integral interna em relação a
:
Fazemos uma substituição: seja
, então
.
Mas, de forma mais direta, usamos integração por partes, onde:
Aplicando integração por partes:
Avaliado de
a
:
Passo 7
Agora, a integral externa em relação a
:
Resposta
A integral dupla é igual a
.