Exercício 1.(3.0 pontos) Considere a região
D = {(x, y) ∈ R² : x² + (y - 3)² <= 9 e x² + y² >= 9}
(b) Calcule o volume do sólido S que está compreendido entre D e o plano x + z = 84.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem que calcular o volume de um sólido que está entre uma certa região no plano e o plano . Primeiro, vamos entender melhor a região e depois ver como calcular o volume usando um pouco de cálculo integral.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a região . Ela é definida por duas condições:
Isso significa que é a área que está dentro ou na borda do círculo de raio 3 centrado em e fora ou na borda do círculo de raio 3 centrado em . Basicamente, é a região entre esses dois círculos.

Passo 3

Agora, vamos entender o sólido . Ele está “entre” a região e o plano . Podemos reescrever esse plano para expressar em função de :
Isso significa que, para cada ponto em , vai de 0 até .

Passo 4

Para encontrar o volume do sólido , vamos usar uma integral dupla sobre a região . A fórmula geral para o volume é:
Isso porque para cada ponto em , a “altura” do sólido é .

Passo 5

Vamos parametrizar a região para facilitar a integração. Como temos dois círculos, é útil determinar os pontos de interseção para definir os limites de integração.
As equações dos círculos são:
  1. (Círculo 1)
  2. (Círculo 2)
Igualando as duas:
Então, os círculos se interceptam quando . Para de 1.5 a 6, os limites em são determinados pelo círculo maior, e de 0 a 1.5, pelo círculo menor.

Passo 6

Vamos configurar a integral dupla. Podemos dividir a região em duas partes:
  1. Parte Superior ( de 1.5 a 6): é
  2. Parte Inferior ( de 0 a 1.5): é
Então, a integral fica:

Passo 7

Vamos resolver a primeira integral:
A segunda integral ( ) é simétrica em torno de 0, então ela será zero. Assim:

Passo 8

Agora, a primeira parte do volume fica:
Essa é uma integral que envolve a função semi-circular. A integral de é conhecida e resulta em:
Calculando os limites:

Passo 9

Vamos resolver a segunda integral de forma similar:
Então, o segundo volume é:
Fazendo a substituição , , com limites de a , temos:
Essa é outra integral semi-circular:
Calculando os limites:
Para :
Para :
Então,

Passo 10

Finalmente, somando os dois volumes:

Resposta

O volume do sólido é aproximadamente 2755,32 unidades cúbicas.

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