Exercício 1.(3.0 pontos) Considere a região
(a) Esboce a região
percorrida por
e calcule a sua área.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa analisar uma região
definida por duas desigualdades envolvendo círculos no plano. Vamos usar conhecimentos de geometria analítica, especialmente sobre equações de círculos, para entender e calcular a área dessa região.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as equações dos dois círculos que definem a região
:
-
Esse é o círculo de raio 3, centrado no ponto (0, 3). -
Esse é o círculo de raio 3, centrado na origem (0, 0).
Passo 3
Agora, vamos entender o que essas desigualdades representam:
-
significa que todos os pontos que estão dentro ou na borda do círculo centrado em (0, 3) fazem parte da região. -
indica que todos os pontos que estão fora ou na borda do círculo centrado na origem também fazem parte da região.
Passo 4
A região
é a interseção dessas duas condições. Então, estamos procurando os pontos que estão dentro do primeiro círculo e fora do segundo círculo ao mesmo tempo.
Passo 5
Para visualizar, vamos desenhar os dois círculos:
- O primeiro círculo está acima, com centro em (0, 3) e raio 3.
- O segundo círculo está no meio, com centro em (0, 0) e raio 3.
A área comum que satisfaz ambas as condições forma uma espécie de “anel” ou região entre os dois círculos.
Passo 6
Para calcular a área dessa região, podemos usar a fórmula da área do círculo e subtrair a área sobreposta. Porém, como os círculos são iguais em raio, a área da região
será a área do primeiro círculo menos a área da sobreposição com o segundo.
A área de um círculo é dada por:
Onde
é o raio.
Passo 7
Calculando as áreas:
- Área do primeiro círculo:
- Área do segundo círculo: também
Como a região
é a parte do primeiro círculo que está fora do segundo, a área será:
Passo 8
A sobreposição dos dois círculos forma uma área simétrica que pode ser calculada usando integrais ou fórmulas específicas para interseção de círculos. No caso de círculos com o mesmo raio e centros alinhados verticalmente, a área de interseção é:
Passo 9
Substituindo na fórmula da área da região
:
Simplificando:
Resposta
A área da região
é
unidades de área.