Exercício 1.(3.0 pontos) Considere a região
D = {(x, y) ∈ R² : x² + (y - 3)² <= 9 e x² + y² >= 9}
(a) Esboce a região D percorrida por (x, y) e calcule a sua área.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa analisar uma região definida por duas desigualdades envolvendo círculos no plano. Vamos usar conhecimentos de geometria analítica, especialmente sobre equações de círculos, para entender e calcular a área dessa região.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as equações dos dois círculos que definem a região :

  1. Esse é o círculo de raio 3, centrado no ponto (0, 3).

  2. Esse é o círculo de raio 3, centrado na origem (0, 0).

Passo 3

Agora, vamos entender o que essas desigualdades representam:
  • significa que todos os pontos que estão dentro ou na borda do círculo centrado em (0, 3) fazem parte da região.
  • indica que todos os pontos que estão fora ou na borda do círculo centrado na origem também fazem parte da região.

Passo 4

A região é a interseção dessas duas condições. Então, estamos procurando os pontos que estão dentro do primeiro círculo e fora do segundo círculo ao mesmo tempo.

Passo 5

Para visualizar, vamos desenhar os dois círculos:
  • O primeiro círculo está acima, com centro em (0, 3) e raio 3.
  • O segundo círculo está no meio, com centro em (0, 0) e raio 3.
A área comum que satisfaz ambas as condições forma uma espécie de “anel” ou região entre os dois círculos.

Passo 6

Para calcular a área dessa região, podemos usar a fórmula da área do círculo e subtrair a área sobreposta. Porém, como os círculos são iguais em raio, a área da região será a área do primeiro círculo menos a área da sobreposição com o segundo.
A área de um círculo é dada por:
Onde é o raio.

Passo 7

Calculando as áreas:
  • Área do primeiro círculo:
  • Área do segundo círculo: também
Como a região é a parte do primeiro círculo que está fora do segundo, a área será:
áçã

Passo 8

A sobreposição dos dois círculos forma uma área simétrica que pode ser calculada usando integrais ou fórmulas específicas para interseção de círculos. No caso de círculos com o mesmo raio e centros alinhados verticalmente, a área de interseção é:
çã

Passo 9

Substituindo na fórmula da área da região :
Simplificando:

Resposta

A área da região é unidades de área.

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