Verifique que div F=0 e determine todos os campos de vetores G, tais que rot G = F. (Dica: Use a integral da questão anterior) F = (e^x - e^y) k.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar que a divergência de é zero e encontrar todos os campos de vetores que têm o rotacional igual a . Isso tudo está relacionado com cálculo vetorial, especificamente com as operações de divergência e rotacional. Para resolver, vamos precisar entender como calcular a divergência e o rotacional de um campo vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a divergência de é realmente zero. A divergência de um campo vetorial é dada por:
No nosso caso, . Então, , e . Calculando a divergência:
Conseguimos ver que sim, .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar todos os campos de vetores tais que . O rotacional de um campo vetorial é dado por:
Sabemos que , então precisamos que:
Vamos resolver essas equações passo a passo:
  1. Primeira equação:
Isso sugere que podemos escolher independentemente de e , ou seja, pode ser uma função apenas de .
  1. Segunda equação:
Similarmente, isso indica que pode ser escolhido de forma que sua derivada em relação a compense a derivada de em relação a .
  1. Terceira equação:
Essa é a equação principal que nos dá informação sobre e .
Para simplificar, podemos assumir que . Assim, as primeiras duas equações são satisfeitas automaticamente, e a terceira equação se reduz a:
Agora, podemos escolher e de forma que isso seja válido. Uma solução particular pode ser:
Onde é uma função arbitrária de . Porém, para simplificar, podemos escolher , então:
Portanto, uma solução particular é:
Mas, na verdade, existem infinitas soluções possíveis, pois podemos adicionar qualquer gradiente de uma função escalar ao encontrado, já que o rotacional de um gradiente é sempre zero.

Resposta

Onde é uma funç��o escalar arbitrária de e .

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