Verifique que div
e determine todos os campos de vetores
, tais que
. (Dica: Use a integral da questão anterior)
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar que a divergência de
é zero e encontrar todos os campos de vetores
que têm o rotacional igual a
. Isso tudo está relacionado com cálculo vetorial, especificamente com as operações de divergência e rotacional. Para resolver, vamos precisar entender como calcular a divergência e o rotacional de um campo vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a divergência de
é realmente zero. A divergência de um campo vetorial
é dada por:
No nosso caso,
. Então,
,
e
. Calculando a divergência:
Conseguimos ver que sim,
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar todos os campos de vetores
tais que
. O rotacional de um campo vetorial
é dado por:
Sabemos que
, então precisamos que:
Vamos resolver essas equações passo a passo:
- Primeira equação:
Isso sugere que podemos escolher
independentemente de
e
, ou seja,
pode ser uma função apenas de
.
- Segunda equação:
Similarmente, isso indica que
pode ser escolhido de forma que sua derivada em relação a
compense a derivada de
em relação a
.
- Terceira equação:
Essa é a equação principal que nos dá informação sobre
e
.
Para simplificar, podemos assumir que
. Assim, as primeiras duas equações são satisfeitas automaticamente, e a terceira equação se reduz a:
Agora, podemos escolher
e
de forma que isso seja válido. Uma solução particular pode ser:
Onde
é uma função arbitrária de
. Porém, para simplificar, podemos escolher
, então:
Portanto, uma solução particular é:
Mas, na verdade, existem infinitas soluções possíveis, pois podemos adicionar qualquer gradiente de uma função escalar ao
encontrado, já que o rotacional de um gradiente é sempre zero.
Resposta
Onde
é uma funç��o escalar arbitrária de
e
.