Verifique que div F=0 e determine todos os campos de vetores G, tais que rot G = F. (Dica: Use a integral da questão anterior) F = 2y i - z j + 2x k.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se a divergência do campo vetorial é zero e, além disso, determinar todos os campos vetoriais que satisfazem a condição . Para resolver isso, vamos precisar entender o que são divergência e rotacional (ou rotação) em cálculo vetorial. Vou explicar esses conceitos conforme a gente for resolvendo.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a divergência do campo vetorial . A divergência é uma operação que mede a “taxa de expansão” de um campo vetorial em um ponto. Matematicamente, para um campo , a divergência é dada por:
No nosso caso, temos:
Então, identificamos:

Passo 3

Agora, vamos calcular cada derivada parcial:
Somando tudo, temos:
Então, de fato, a divergência de é zero.

Passo 4

Agora, precisamos encontrar todos os campos vetoriais tais que . O rotacional, ou rotação, de um campo vetorial é dado por:
Queremos que . Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
Vamos resolver esse sistema para encontrar , e .

Passo 5

Vamos começar com a equação (2):
Podemos assumir que não depende de , ou seja, . Assim, a equação simplifica para:
Integrando em relação a :
Onde é uma função arbitrária de e .
Agora, vamos para a equação (3):
Substituindo :
Podemos assumir que não depende de , ou seja, . Assim:
Integrando em relação a :
Onde é uma função arbitrária de e .
Finalmente, vamos para a equação (1):
Substituindo :
Podemos assumir que não depende de , ou seja, . Assim:
Integrando em relação a :
Onde é uma função arbitrária de e .

Passo 6

Recapitulando, temos:
As funções , e são funções arbitrárias que podem ser adicionadas, já que suas derivadas não afetam o rotacional . Isso significa que a solução geral para inclui essas funções arbitrárias.

Resposta

Todos os campos vetoriais que satisfazem são da forma:
Onde , e são funções arbitrárias de suas respectivas variáveis.

Exercícios relacionados