Verifique que div
e determine todos os campos de vetores
, tais que
. (Dica: Use a integral da questão anterior)
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se a divergência do campo vetorial
é zero e, além disso, determinar todos os campos vetoriais
que satisfazem a condição
. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são divergência e rotacional (ou rotação) em cálculo vetorial. Vou explicar esses conceitos conforme a gente for resolvendo.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a divergência do campo vetorial
. A divergência é uma operação que mede a “taxa de expansão” de um campo vetorial em um ponto. Matematicamente, para um campo
, a divergência é dada por:
No nosso caso, temos:
Então, identificamos:
Passo 3
Agora, vamos calcular cada derivada parcial:
Somando tudo, temos:
Então, de fato, a divergência de
é zero.
Passo 4
Agora, precisamos encontrar todos os campos vetoriais
tais que
. O rotacional, ou rotação, de um campo vetorial
é dado por:
Queremos que
. Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
Vamos resolver esse sistema para encontrar
,
e
.
Passo 5
Vamos começar com a equação (2):
Podemos assumir que
não depende de
, ou seja,
. Assim, a equação simplifica para:
Integrando em relação a
:
Onde
é uma função arbitrária de
e
.
Agora, vamos para a equação (3):
Substituindo
:
Podemos assumir que
não depende de
, ou seja,
. Assim:
Integrando em relação a
:
Onde
é uma função arbitrária de
e
.
Finalmente, vamos para a equação (1):
Substituindo
:
Podemos assumir que
não depende de
, ou seja,
. Assim:
Integrando em relação a
:
Onde
é uma função arbitrária de
e
.
Passo 6
Recapitulando, temos:
As funções
,
e
são funções arbitrárias que podem ser adicionadas, já que suas derivadas não afetam o rotacional
. Isso significa que a solução geral para
inclui essas funções arbitrárias.
Resposta
Todos os campos vetoriais
que satisfazem
são da forma:
Onde
,
e
são funções arbitrárias de suas respectivas variáveis.