Exercício 2. (2.5 pontos) A força que atua em um ponto (x, y) do plano coordenado é
F(x, y) = (x^2 + y^2) * i + x * y * j
Encontre o trabalho realizado por F ao longo do gráfico de y = x^3 de (0,0) a 2,8.

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma força que atua em cada ponto do plano, dada por
O objetivo é encontrar o trabalho realizado por essa força ao longo do gráfico da curva , indo do ponto ao ponto . Para resolver isso, vamos utilizar o conceito de integração de linha, que nos permite calcular o trabalho realizado por uma força ao longo de um caminho específico.

Passo 2

Primeiro, precisamos parametrizar a curva . Como está expressa em função de , podemos usar como parâmetro. Assim, temos:
Dessa forma, nossa curva parametrizada fica:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada , que representa o vetor tangente à curva:

Passo 4

Em seguida, substituímos e na expressão da força usando a parametrização:

Passo 5

O trabalho realizado pela força ao longo da curva é dado pela integral de linha:
Calculamos o produto escalar :

Passo 6

Agora, realizamos a integração:
Integrando termo a termo:
Portanto,

Passo 7

Avaliamos a antiderivada nos limites de integração:
Calculando os valores:
Somando:
Convertendo para decimal:

Resposta

O trabalho realizado pela força ao longo da curva de a é aproximadamente .

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