Exercício 2. (2.5 pontos) A força que atua em um ponto
do plano coordenado é
Encontre o trabalho realizado por
ao longo do gráfico de
de
a
.
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma força que atua em cada ponto
do plano, dada por
O objetivo é encontrar o trabalho realizado por essa força ao longo do gráfico da curva
, indo do ponto
ao ponto
. Para resolver isso, vamos utilizar o conceito de integração de linha, que nos permite calcular o trabalho realizado por uma força ao longo de um caminho específico.
Passo 2
Primeiro, precisamos parametrizar a curva
. Como
está expressa em função de
, podemos usar
como parâmetro. Assim, temos:
Dessa forma, nossa curva parametrizada fica:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a derivada
, que representa o vetor tangente à curva:
Passo 4
Em seguida, substituímos
e
na expressão da força
usando a parametrização:
Passo 5
O trabalho realizado pela força ao longo da curva é dado pela integral de linha:
Calculamos o produto escalar
:
Passo 6
Agora, realizamos a integração:
Integrando termo a termo:
Portanto,
Passo 7
Avaliamos a antiderivada nos limites de integração:
Calculando os valores:
Somando:
Convertendo para decimal:
Resposta
O trabalho realizado pela força
ao longo da curva
de
a
é aproximadamente
.