Sejam f(t) = e^t * i + e^(-t) * j + raiz(2) * t * k e
g(t) = t^2 j - t k
determinar: (f(t) * g(t))'

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo vetorial! A questão nos dá duas funções vetoriais no tempo :
E pede para determinarmos a derivada do produto escalar dessas duas funções, ou seja, . Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular o produto escalar de vetores e depois como derivar esse resultado em relação a .

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o produto escalar . O produto escalar de dois vetores é dado pela soma dos produtos das componentes correspondentes:
Observando as funções dadas:
Note que porque não há componente em .

Passo 3

Vamos calcular cada termo do produto escalar:
Somando esses termos:

Passo 4

Agora, precisamos derivar essa expressão em relação a . Vamos diferenciar termo a termo:
Para o primeiro termo, usamos a regra do produto:
Para o segundo termo:

Passo 5

Agora, juntando as derivações:
Podemos fatorar no primeiro par de termos:

Resposta

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