Solução cada uma das Equações Diferenciais Ordinárias abaixo:
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos a equação diferencial ordinária
. Para resolver isso, vamos usar a técnica das equações de Bernoulli, que é útil para equações que envolvem termos com
elevados a uma potência.
Passo 2
Primeiro, identificamos que a equação está na forma de Bernoulli:
onde:
Essa forma é importante porque a equação de Bernoulli permite uma substituição que transforma a equação original em uma equação linear, mais fácil de resolver.
Passo 3
Vamos fazer a substituição
. Agora, derivamos
em relação a
:
Isso nos ajudará a reescrever a equação original em termos de
.
Passo 4
Substituindo
na equação original:
Multiplicando ambos os lados por
:
Usando a expressão para
:
Rearranjando:
Mas como
, temos:
Ou seja:
Agora, temos uma equação linear em
.
Passo 5
Vamos resolver a equação linear:
Para isso, encontramos o fator integrante
:
Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante:
Isso simplifica para:
Passo 6
Agora, integramos ambos os lados em relação a
:
Isso resulta em:
onde
é a constante de integração.
Passo 7
Vamos calcular a integral no lado direito. Usando integração por partes, onde:
Aplicando a fórmula de integração por partes
:
Simplificando:
Passo 8
Voltando à expressão anterior:
Multiplicando ambos os lados por
:
Lembrando que
:
Finalmente, resolvemos para
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
é a constante de integração.