Solução cada uma das Equações Diferenciais Ordinárias abaixo: y' + (1/3) y = (1/3)(1 - 2x) y^4

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos a equação diferencial ordinária . Para resolver isso, vamos usar a técnica das equações de Bernoulli, que é útil para equações que envolvem termos com elevados a uma potência.

Passo 2

Primeiro, identificamos que a equação está na forma de Bernoulli:
onde:
Essa forma é importante porque a equação de Bernoulli permite uma substituição que transforma a equação original em uma equação linear, mais fácil de resolver.

Passo 3

Vamos fazer a substituição . Agora, derivamos em relação a :
Isso nos ajudará a reescrever a equação original em termos de .

Passo 4

Substituindo na equação original:
Multiplicando ambos os lados por :
Usando a expressão para :
Rearranjando:
Mas como , temos:
Ou seja:
Agora, temos uma equação linear em .

Passo 5

Vamos resolver a equação linear:
Para isso, encontramos o fator integrante :
Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante:
Isso simplifica para:

Passo 6

Agora, integramos ambos os lados em relação a :
Isso resulta em:
onde é a constante de integração.

Passo 7

Vamos calcular a integral no lado direito. Usando integração por partes, onde:
Aplicando a fórmula de integração por partes :
Simplificando:

Passo 8

Voltando à expressão anterior:
Multiplicando ambos os lados por :
Lembrando que :
Finalmente, resolvemos para :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde é a constante de integração.

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