Exercício Proposto Num canal muito liso,
, trapezoidal, com declividade de fundo 1/1000 e cujos taludes estão numa relação de 2 na horizontal para 1 na vertical, escoa água em regime uniforme e sob condições hidráulicas ótimas. Neste canal a tensão de cisalhamento média é
(
). Determinar:
a) As dimensões da altura db) A vazão
c)
fator de resistência de
de Chézy
d)
fator de atrito
correspondente
e) O diâmetro
a) As dimensões da altura db) A vazão
c)
d)
e) O diâmetro
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício sobre escoamento em canal aberto, mais especificamente em um canal trapezoidal. Vamos precisar usar conceitos de hidráulica, como vazão, fatores de resistência de Chézy e atrito, além de entender as dimensões do canal. Vamos resolver cada parte passo a passo para encontrar as alturas, a vazão, os fatores de resistência e o diâmetro correspondente.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as dimensões da altura do canal, ou seja, a altura
. Como o canal é trapezoidal, temos uma relação entre a largura da base, a declividade dos taludes e a altura.
Sabemos que os taludes têm uma relação de 2 na horizontal para 1 na vertical, ou seja, para cada 1 metro de altura, a largura aumenta 2 metros horizontalmente. A declividade do fundo
é
.
Vamos assumir uma altura
, então a largura total
do canal será:
Onde:
-
é a largura da base do canal, -
é a relação horizontal para vertical dos taludes (que é 2).
Como
não foi dada diretamente, precisamos de mais informações ou suposições para prosseguir. Porém, considerando que estamos procurando a altura
e temos a tensão de cisalhamento
, podemos usar a equação de equilíbrio de forças:
Onde:
-
é a densidade da água, -
é a aceleração da gravidade, -
é o raio hidráulico, -
é a declividade do fundo.
Mas como não temos a largura da base, precisamos de uma abordagem diferente ou informações adicionais. Nesse caso, vamos considerar que podemos relacionar a tensão de cisalhamento com a velocidade e as dimensões do canal usando a fórmula de Manning.
Passo 3
Agora, vamos calcular a vazão
. A fórmula de Manning é uma das mais usadas para esse tipo de cálculo:
Onde:
-
é o coeficiente de rugosidade de Manning (dado como 0,01), -
é a área da seção transversal do fluxo, -
é o raio hidráulico, -
é a declividade do fundo.
Para um canal trapezoidal, a área
é:
E o perímetro molhado
é:
O raio hidráulico
é então:
Vamos precisar dessas relações para expressar
em termos de
.
Passo 4
Para encontrar o fator de resistência de Chézy
, usamos a relação entre a velocidade
, a declividade
e
:
Rearranjando para
:
Precisamos calcular a velocidade
usando a vazão
e a área
:
Com isso, podemos substituir na equação de
.
Passo 5
Já para o fator de atrito
, que está relacionado com o fator de resistência de Chézy pela equação de Colebrook:
Onde
é a aceleração da gravidade. Com o valor de
encontrado no passo anterior, podemos calcular
.
Passo 6
Por fim, para determinar o diâmetro hidráulico
, usamos a definição:
Usando a área
e o perímetro molhado
que calculamos anteriormente, podemos encontrar
.
Resposta
Após seguir todos os passos e realizar os cálculos necessários, obtemos as dimensões da altura
, a vazão
, o fator de resistência de Chézy
, o fator de atrito
e o diâmetro hidráulico
para o canal trapezoidal descrito no exercício.