Para a segunda série (ii), determine se a série converge nas extremidades do intervalo de convergência. A seguir, responda: quais são todos os valores de
para os quais a série (ii) converge? E quais são todos os valores de
para os quais a série (ii) converge absolutamente?
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me passou um exercício onde precisamos analisar a série (ii). O que a gente precisa fazer é verificar se essa série converge nas extremidades do intervalo de convergência. Além disso, queremos saber para quais valores de
a série converge e para quais ela converge absolutamente.
Para resolver isso, vamos precisar entender sobre intervalos de convergência, testes de convergência e a diferença entre convergência simples e convergência absoluta. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar que uma série pode ter um intervalo de convergência, que é o conjunto de valores de
para os quais a série converge. Esse intervalo geralmente é do tipo
, mas pode incluir as extremidades, ficando
,
ou
.
A sua pergunta menciona o intervalo de convergência e quer saber sobre a convergência nas extremidades. Então, a gente já sabe que temos um intervalo onde a série converge, e queremos testar os pontos
e
para ver se nela também.
Passo 3
Para determinar a convergência nas extremidades do intervalo, a gente usa alguns testes de convergência. Dependendo da série, podemos usar o Teste da Série Alternada, o Teste da Comparação ou até o Teste da Raiz.
Vamos supor que já determinamos o intervalo de convergência da série (ii) usando o Teste da Razão ou outro método apropriado. Agora, vamos verificar nos pontos finais
e
.
-
No ponto
: - Substituímos
na série. - Aplicamos o teste de convergência adequado.
- Se a série convergir, mantemos
no intervalo. - Se não, excluímos
.
- Substituímos
-
No ponto
: - Substituímos
na série. - Aplicamos o teste de convergência adequado.
- Se a série convergir, mantemos
no intervalo. - Se não, excluímos
.
- Substituímos
Passo 4
Agora, vamos falar sobre a convergência absoluta. Uma série converge absolutamente se a série dos valores absolutos dela também converge. Isso é importante porque a convergência absoluta implica na convergência simples, mas nem toda convergência simples é absoluta.
Para verificar isso:
- Substituímos
pelos valores dentro do intervalo de convergência. - Calculamos a série dos valores absolutos.
- Aplicamos um teste de convergência (como o Teste da Série p, Teste da Razão, etc.).
- Verificamos se essa série dos valores absolutos converge.
Se convergir, então a série original converge absolutamente para aquele
. Se não, pode ainda convergir de forma condicional.
Resposta
Todos os valores de
para os quais a série (ii) converge são aqueles dentro do intervalo de convergência, incluindo ou não as extremidades dependendo dos testes realizados. Além disso, a série (ii) converge absolutamente para todos os
dentro desse intervalo onde a série dos valores absolutos também converge. Especificamente:
- Convergência: Para
no intervalo de convergência, incluindo as extremidades que passaram no teste. - Convergência Absoluta: Para
no intervalo onde a série dos valores absolutos converge, geralmente o interior do intervalo de convergência.
Para saber exatamente quais são esses valores, é preciso aplicar os testes de convergência nas extremidades do intervalo identificado.
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, em que
e
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.
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para calcular aproximadamente
com erro
. Justifique sua resposta, explicando por que o método que você usou se aplica aqui.