Exercício 2. Use a propriedade de linearidade e a tabela para encontrar a Transformada de Laplace das seguintes funções e são constantes):
(d)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a Transformada de Laplace da função . Isso envolve entender a propriedade de linearidade da Transformada de Laplace e usar uma tabela de transformadas conhecidas. Vamos precisar quebrar a função em partes mais simples para aplicar a linearidade.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da propriedade de linearidade da Transformada de Laplace. Ela nos diz que se tivermos uma combinação linear de funções, a transformada dela é a mesma combinação linear das transformadas de cada função individual. Ou seja:
Isso vai ajudar a decompor a nossa função .

Passo 3

Agora, vamos usar uma identidade trigonométrica para reescrever . Sabemos que:
Assim, conseguimos expressar a função original como uma combinação linear de e .

Passo 4

Aplicando a propriedade de linearidade que mencionamos no Passo 2, temos:
Agora, precisamos encontrar as Transformadas de Laplace de e .

Passo 5

Consultando a tabela de Transformadas de Laplace, encontramos:
Essas são fórmulas padrão que usamos sempre que encontramos cossenos e senos na Transformada de Laplace.

Passo 6

Substituindo essas transformadas na equação que obtivemos no Passo 4:
Agora, vamos simplificar essa expressão.

Passo 7

Colocando tudo sobre o mesmo denominador:
Pronto! Essa é a Transformada de Laplace da função .

Resposta

A Transformada de Laplace de é:

Exercícios relacionados

Exercício 2. Use a propriedade de linearidade e a tabela para encontrar a Transformada de Laplace das seguintes funções e são constantes):
(a)
Exercício 5. Use a tabela para encontrar a Transformada Inversa das funções abaixo:
(g)
A função é diferenciável? Justifique com detalhes. se e .
Exercício 5. Use a tabela para encontrar a Transformada Inversa das funções abaixo:
(a)