Exercício 2. Use a propriedade de linearidade e a tabela para encontrar a Transformada de Laplace das seguintes funções
e
são constantes):
(d)
(d)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a Transformada de Laplace da função
. Isso envolve entender a propriedade de linearidade da Transformada de Laplace e usar uma tabela de transformadas conhecidas. Vamos precisar quebrar a função em partes mais simples para aplicar a linearidade.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da propriedade de linearidade da Transformada de Laplace. Ela nos diz que se tivermos uma combinação linear de funções, a transformada dela é a mesma combinação linear das transformadas de cada função individual. Ou seja:
Isso vai ajudar a decompor a nossa função
.
Passo 3
Agora, vamos usar uma identidade trigonométrica para reescrever
. Sabemos que:
Assim, conseguimos expressar a função original como uma combinação linear de
e
.
Passo 4
Aplicando a propriedade de linearidade que mencionamos no Passo 2, temos:
Agora, precisamos encontrar as Transformadas de Laplace de
e
.
Passo 5
Consultando a tabela de Transformadas de Laplace, encontramos:
Essas são fórmulas padrão que usamos sempre que encontramos cossenos e senos na Transformada de Laplace.
Passo 6
Substituindo essas transformadas na equação que obtivemos no Passo 4:
Agora, vamos simplificar essa expressão.
Passo 7
Colocando tudo sobre o mesmo denominador:
Pronto! Essa é a Transformada de Laplace da função
.
Resposta
A Transformada de Laplace de
é:
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Exercício 2. Use a propriedade de linearidade e a tabela para encontrar a Transformada de Laplace das seguintes funções
e
são constantes):
(a)
(a)
Exercício 5. Use a tabela para encontrar a Transformada Inversa das funções
abaixo:
(g)
(g)
A função
é diferenciável? Justifique com detalhes.
se
e
.
Exercício 5. Use a tabela para encontrar a Transformada Inversa das funções
abaixo:
(a)
(a)