A função é diferenciável? Justifique com detalhes. se e .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Queremos saber se a função é diferenciável no ponto . A função é dada por:
Para resolver isso, vamos precisar entender o conceito de diferenciabilidade de funções de duas variáveis e verificar as condições necessárias para que a função seja diferenciável no ponto .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser diferenciável em um ponto. Uma função é diferenciável em se ela pode ser aproximada por um plano tangente nesse ponto. Isso implica que as derivadas parciais de existem e são contínuas em .
No nosso caso, precisamos verificar se as derivadas parciais de em relação a e existem no ponto e se são contínuas nesse ponto.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de em .
A derivada parcial em relação a é:
Substituindo :
Então:
Analogamente, a derivada parcial em relação a :
Substituindo :
Então:

Passo 4

Agora que sabemos que as derivadas parciais e existem e são iguais a 0, precisamos verificar a continuidade dessas derivadas no ponto .
Vamos verificar se:
Substituindo os valores que já conhecemos ( , , e ):

Passo 5

Vamos calcular o limite acima:
Agora, para investigar esse limite, podemos usar coordenadas polares onde e , com . Então:
O limite então se torna:
Como depende do ângulo e não tende a um único valor quando , o limite não existe de forma única.

Passo 6

Como o limite não existe de forma única, isso significa que a função não satisfaz a condição de diferenciabilidade no ponto . Mesmo que as derivadas parciais existam, a função não pode ser aproximada por um plano tangente nesse ponto.

Resposta

A função não é diferenciável no ponto .

Exercícios relacionados

Exercício 2. Use a propriedade de linearidade e a tabela para encontrar a Transformada de Laplace das seguintes funções e são constantes):
(d)
Exercício 2. Use a propriedade de linearidade e a tabela para encontrar a Transformada de Laplace das seguintes funções e são constantes):
(a)
Exercício 5. Use a tabela para encontrar a Transformada Inversa das funções abaixo:
(a)
Exercício 5. Use a tabela para encontrar a Transformada Inversa das funções abaixo:
(d)