A função
é diferenciável? Justifique com detalhes.
se
e
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Queremos saber se a função
é diferenciável no ponto
. A função é dada por:
Para resolver isso, vamos precisar entender o conceito de diferenciabilidade de funções de duas variáveis e verificar as condições necessárias para que a função seja diferenciável no ponto
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser diferenciável em um ponto. Uma função
é diferenciável em
se ela pode ser aproximada por um plano tangente nesse ponto. Isso implica que as derivadas parciais de
existem e são contínuas em
.
No nosso caso, precisamos verificar se as derivadas parciais de
em relação a
e
existem no ponto
e se são contínuas nesse ponto.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais de
em
.
A derivada parcial em relação a
é:
Substituindo
:
Então:
Analogamente, a derivada parcial em relação a
:
Substituindo
:
Então:
Passo 4
Agora que sabemos que as derivadas parciais
e
existem e são iguais a 0, precisamos verificar a continuidade dessas derivadas no ponto
.
Vamos verificar se:
Substituindo os valores que já conhecemos (
,
, e
):
Passo 5
Vamos calcular o limite acima:
Agora, para investigar esse limite, podemos usar coordenadas polares onde
e
, com
. Então:
O limite então se torna:
Como
depende do ângulo
e não tende a um único valor quando
, o limite não existe de forma única.
Passo 6
Como o limite não existe de forma única, isso significa que a função
não satisfaz a condição de diferenciabilidade no ponto
. Mesmo que as derivadas parciais existam, a função não pode ser aproximada por um plano tangente nesse ponto.
Resposta
A função
não é diferenciável no ponto
.
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e
são constantes):
(d)
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(a)
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Exercício 5. Use a tabela para encontrar a Transformada Inversa das funções
abaixo:
(a)
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(d)
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