Exercício 4. Use a substituição hiperbólica
para mostrar que
Passo 1
Beleza, vamos ver qual é a boa aqui. Temos um exercício de cálculo que pede para resolver uma integral usando substituição hiperbólica. O enunciado sugere a substituição
. A matéria aqui envolve integrais e funções hiperbólicas. Vamos precisar conhecer como funcionam essas substituições e as propriedades das funções hiperbólicas para resolver a integral
.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer a substituição que o exercício sugere:
. Mas por que usar essa substituição? As funções hiperbólicas, como o seno hiperbólico (
), têm propriedades que facilitam lidar com expressões que envolvem
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar
em termos de
. Derivando
em relação a
, temos:
Substituindo
e
na integral original, ficamos com:
Passo 4
Vamos simplificar o denominador:
Sabemos que
, então:
A integral fica então:
Passo 5
Finalmente, precisamos retornar à variável original
. Lembrando que fizemos a substituição
, podemos resolver para
:
Então, a integral fica:
Resposta
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