Exercício 4. Use a substituição hiperbólica x=a senh(t) para mostrar que
integral d xraizx^2+a^2=senh^-1(xa)+C

Passo 1

Beleza, vamos ver qual é a boa aqui. Temos um exercício de cálculo que pede para resolver uma integral usando substituição hiperbólica. O enunciado sugere a substituição . A matéria aqui envolve integrais e funções hiperbólicas. Vamos precisar conhecer como funcionam essas substituições e as propriedades das funções hiperbólicas para resolver a integral .

Passo 2

Primeiro, vamos fazer a substituição que o exercício sugere: . Mas por que usar essa substituição? As funções hiperbólicas, como o seno hiperbólico ( ), têm propriedades que facilitam lidar com expressões que envolvem .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar dx = a cosh(t) , dt em termos de integral a cosh(t) , dtraiza^2 senh^2(t) + a^2 . Derivando em relação a , temos:
Substituindo e na integral original, ficamos com:

Passo 4

Vamos simplificar o denominador:
raiza^2 senh^2(t) + a^2 = a raizsenh^2(t) + 1
Sabemos que a raizcosh^2(t) = a cosh(t) , então:
integral a cosh(t) , dta cosh(t) = integral dt = t + C
A integral fica então:

Passo 5

Finalmente, precisamos retornar à variável original t = senh^-1(xa) . Lembrando que fizemos a substituição integral dxraizx^2+a^2 = senh^-1(xa) + C , podemos resolver para :
Então, a integral fica:

Resposta

integral dxraizx^2+a^2 = senh^-1(xa) + C

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