Use uma simplificação algébrica para achar o limite, se existe: 22 lim h 2 h^3-8h^2-4

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular o limite da função quando se aproxima de 2. Estamos trabalhando com limites, que fazem parte do cálculo e ajudam a entender como uma função se comporta perto de um determinado ponto.

Passo 2

Vamos tentar substituir diretamente 2^3-82^2-4 = 8-84-4 = 00 na expressão para ver o que acontece:
Obtemos uma forma indeterminada , o que significa que precisamos simplificar a expressão para encontrar o limite.

Passo 3

Para simplificar a fração, vamos fatorar o numerador e o denominador. Observamos que a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) é uma diferença de cubos e h^3 - 8 = (h - 2)(h^2 + 2h + 4) é uma diferença de quadrados.
A diferença de cubos pode ser fatorada usando a fórmula:
h^2 - 4 = (h - 2)(h + 2)
Aqui, e , então:
A diferença de quadrados é fatorada assim:

Passo 4

Substituímos essas fatorações na fração original:
(h - 2)(h^2 + 2h + 4)(h - 2)(h + 2)
Agora, podemos cancelar o fator comum h^2 + 2h + 4h + 2 no numerador e no denominador:

Passo 5

Com a expressão simplificada, substituímos 2^2 + 2 cdot 2 + 42 + 2 = 4 + 4 + 44 = 124 = 3 :

Resposta

O limite é 3.

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