Use uma simplificação algébrica para achar o limite, se existe:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular o limite da função
quando
se aproxima de 2. Estamos trabalhando com limites, que fazem parte do cálculo e ajudam a entender como uma função se comporta perto de um determinado ponto.
Passo 2
Vamos tentar substituir diretamente
na expressão para ver o que acontece:
Obtemos uma forma indeterminada
, o que significa que precisamos simplificar a expressão para encontrar o limite.
Passo 3
Para simplificar a fração, vamos fatorar o numerador e o denominador. Observamos que
é uma diferença de cubos e
é uma diferença de quadrados.
A diferença de cubos pode ser fatorada usando a fórmula:
Aqui,
e
, então:
A diferença de quadrados é fatorada assim:
Passo 4
Substituímos essas fatorações na fração original:
Agora, podemos cancelar o fator comum
no numerador e no denominador:
Passo 5
Com a expressão simplificada, substituímos
:
Resposta
O limite é 3.
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Exercício 4. Use a substituição hiperbólica
para mostrar que
Use uma simplificação algébrica para achar o limite, se existe:
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