Exercício 1.1 Utilize as propriedades acima para calcular os seguintes limites:
d)
d)
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos que calcular o limite de
quando
tende para mais infinito. Isso faz parte do conteúdo de limites, especificamente envolvendo funções exponenciais e polinomiais. Para resolver isso, vamos precisar entender como o crescimento das funções polinomiais (como
) se compara com o crescimento das funções exponenciais (como
).
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever o limite para facilitar a análise:
Agora, temos uma fração onde o numerador é
e o denominador é
.
Passo 3
Sabemos que, para
grande, as funções exponenciais crescem muito mais rápido do que as funções polinomiais. Isso significa que, conforme
aumenta,
aumenta muito mais rapidamente que
.
Passo 4
Para formalizar isso, podemos usar a regra de L’Hôpital, que é útil quando temos limites do tipo
. Segundo a regra, derivamos o numerador e o denominador até que o limite se torne mais fácil de resolver.
Passo 5
Vamos aplicar a regra de L’Hôpital:
Primeira aplicação:
Primeira aplicação:
Ainda temos
, então aplicamos novamente.
Passo 6
Segunda aplicação da regra de L’Hôpital:
Agora, o limite da fração
quando
vai para mais infinito é mais fácil de calcular.
Passo 7
Sabemos que
cresce para mais infinito conforme
aumenta, então
tende a zero.
Resposta
Portanto, o limite é igual a:
Exercícios relacionados
Se
e
. Determinar
.
A solução da equação logarítmica
. É:
a) 0
b)
c)
*) 1
() nda
a) 0
b)
c)
*) 1
() nda
Se
e
. Determinar
.
Calcule os limites: