Exercício 1.1 Utilize as propriedades acima para calcular os seguintes limites:
d) lim n +infty n^2 e^-n

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos que calcular o limite de quando tende para mais infinito. Isso faz parte do conteúdo de limites, especificamente envolvendo funções exponenciais e polinomiais. Para resolver isso, vamos precisar entender como o crescimento das funções polinomiais (como ) se compara com o crescimento das funções exponenciais (como ).

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever o limite para facilitar a análise:
limn to +infty n^2 e^-n = limn to +infty n^2e^n
Agora, temos uma fração onde o numerador é e o denominador é .

Passo 3

Sabemos que, para grande, as funções exponenciais crescem muito mais rápido do que as funções polinomiais. Isso significa que, conforme aumenta, aumenta muito mais rapidamente que .

Passo 4

Para formalizar isso, podemos usar a regra de L’Hôpital, que é útil quando temos limites do tipo . Segundo a regra, derivamos o numerador e o denominador até que o limite se torne mais fácil de resolver.

Passo 5

Vamos aplicar a regra de L’Hôpital:
Primeira aplicação:
limn to +infty n^2e^n = limn to +infty 2ne^n
Ainda temos , então aplicamos novamente.

Passo 6

Segunda aplicação da regra de L’Hôpital:
limn to +infty 2ne^n = limn to +infty 2e^n
Agora, o limite da fração quando vai para mais infinito é mais fácil de calcular.

Passo 7

Sabemos que cresce para mais infinito conforme aumenta, então tende a zero.

Resposta

Portanto, o limite é igual a:
0

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