Se e . Determinar .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma sequência e nos fornecem os limites das subsequências de termos pares e ímpares:
Queremos determinar , ou seja, o limite da sequência completa.

Passo 2

Para resolver isso, precisamos lembrar que se uma sequência tem todas as suas subsequências convergindo para o mesmo limite, então também converge para esse limite. No entanto, se diferentes subsequências convergem para limites diferentes, então a sequência não tem um limite único.

Passo 3

No nosso caso, temos duas subsequências:
  1. A subsequência dos termos pares que converge para .
  2. A subsequência dos termos ímpares que converge para .

Passo 4

Agora, analisando essas duas subsequências:
  • Se , isso significa que os termos pares estão se aproximando de e os ímpares estão se aproximando de . Como e são diferentes, as duas subsequências estão se aproximando de valores distintos.

Passo 5

Segundo a teoria das sequências, se existem pelo menos duas subsequências de que convergem para limites diferentes, então a sequência não converge. Portanto, se , a sequência não tem um limite.

Passo 6

Agora, vamos considerar o caso especial em que . Se , então ambas as subsequências possuem o mesmo limite:

Passo 7

Nesse cenário, como todas as subsequências convergem para , podemos concluir que a sequência completa também converge para .

Resposta

Se , então . Caso contrário, a sequência não possui limite.

Exercícios relacionados

Exercício 1.1 Utilize as propriedades acima para calcular os seguintes limites:
d)
Se e . Determinar .
Calcule os limites:
Determinar.