Se
e
. Determinar
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma sequência
e nos fornecem os limites das subsequências de termos pares e ímpares:
Queremos determinar
, ou seja, o limite da sequência completa.
Passo 2
Para resolver isso, precisamos lembrar que se uma sequência
tem todas as suas subsequências convergindo para o mesmo limite, então
também converge para esse limite. No entanto, se diferentes subsequências convergem para limites diferentes, então a sequência
não tem um limite único.
Passo 3
No nosso caso, temos duas subsequências:
- A subsequência dos termos pares
que converge para . - A subsequência dos termos ímpares
que converge para .
Passo 4
Agora, analisando essas duas subsequências:
- Se
, isso significa que os termos pares estão se aproximando de e os ímpares estão se aproximando de . Como e são diferentes, as duas subsequências estão se aproximando de valores distintos.
Passo 5
Segundo a teoria das sequências, se existem pelo menos duas subsequências de
que convergem para limites diferentes, então a sequência
não converge. Portanto, se
, a sequência
não tem um limite.
Passo 6
Agora, vamos considerar o caso especial em que
. Se
, então ambas as subsequências possuem o mesmo limite:
Passo 7
Nesse cenário, como todas as subsequências convergem para
, podemos concluir que a sequência completa
também converge para
.
Resposta
Se
, então
. Caso contrário, a sequência
não possui limite.
Exercícios relacionados
Exercício 1.1 Utilize as propriedades acima para calcular os seguintes limites:
d)
d)
Se
e
. Determinar
.
Calcule os limites:
Determinar.