Se lim n xn=a e lim n xn cdot yn=b. Determinar Lim yn.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem duas sequências, e , e sabemos que:
  1. O limite de quando vai para o infinito é , ou seja, .
  2. O limite do produto dessas duas sequências, , quando vai para o infinito é , ou seja, .
O que queremos descobrir é o limite da sequência , .
Para resolver isso, a gente vai precisar usar as propriedades dos limites de sequências, especialmente a que relaciona o limite de um produto com o produto dos limites, desde que o limite de uma das sequências não seja zero.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar de uma propriedade importante dos limites:
Se limn to infty yn = limn to infty (xn yn)limn to infty xn e , então podemos dividir os limites das sequências e obter:
Essa propriedade só funciona se o limite de não for zero, porque não dá para dividir por zero.

Passo 3

Aplicando essa propriedade ao nosso caso, sabemos que:
limn to infty xn = a e limn to infty (xn yn) = b
Então podemos substituir na fórmula:
limn to infty yn = ba
Isso significa que o limite de é simplesmente dividido por .

Resposta

limn to infty yn = ba

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