Nos exercícios 01 a 21, determine o intervalo de convergência de cada uma das séries de potências.
05)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício 05 que pede para determinar o intervalo de convergência da seguinte série de potências:
Aqui, estamos trabalhando com séries de potências e precisamos achar para quais valores de essa série converge. Para isso, vamos usar o Teste da razão, que nos ajuda a encontrar o raio de convergência e, consequentemente, o intervalo de convergência da série.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão da série para facilitar nossos cálculos. Observamos que e podem ser combinados:
Então, nossa série fica:
Passo 3
Para aplicar o Teste da razão, precisamos analisar o limite do valor absoluto do termo geral da série quando tende ao infinito. Vamos chamar o termo geral de :
Primeiro, calculamos :
Simplificando:
Passo 4
Agora, calculamos o limite quando tende ao infinito:
Segundo o Teste da razão, a série converge absolutamente se , ou seja:
Passo 5
Vamos resolver a desigualdade:
Multiplicando todos os termos por 7:
Subtraindo 3 de todos os lados:
Então, o intervalo inicial de convergência é .
Passo 6
Agora, precisamos verificar as extremidades desse intervalo, ou seja, e , para ver se a série converge nesses pontos.
Para :
Substituindo na série:
Essa série é , que diverge.
Para :
Substituindo na série:
Essa é uma série alternada , mas seu termo geral não tende a zero, então também diverge.