Nos exercícios 01 a 21, determine o intervalo de convergência de cada uma das séries de potências.
05)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício 05 que pede para determinar o intervalo de convergência da seguinte série de potências:
Aqui, estamos trabalhando com séries de potências e precisamos achar para quais valores de essa série converge. Para isso, vamos usar o Teste da razão, que nos ajuda a encontrar o raio de convergência e, consequentemente, o intervalo de convergência da série.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão da série para facilitar nossos cálculos. Observamos que e podem ser combinados:
Então, nossa série fica:
Passo 3
Para aplicar o Teste da razão, precisamos analisar o limite do valor absoluto do termo geral da série quando tende ao infinito. Vamos chamar o termo geral de :
Primeiro, calculamos :
Simplificando:
Passo 4
Agora, calculamos o limite quando L = limn to infty ( 1 + 1n ) cdot | x+37 | = 1 cdot | x+37 | = | x+37 | tende ao infinito:
| x+37 | < 1
Segundo o Teste da razão, a série converge absolutamente se , ou seja:
Passo 5
Vamos resolver a desigualdade:
| x+37 | < 1 Rightarrow -1 < x+37 < 1
Multiplicando todos os termos por 7:
-7 < x + 3 < 7
Subtraindo 3 de todos os lados:
-10 < x < 4
Então, o intervalo inicial de convergência é .
Passo 6
Agora, precisamos verificar as extremidades desse intervalo, ou seja, sumn=1^infty (-1)^n+1 , n , (-10 + 3)^n-17^n-1 = sumn=1^infty (-1)^n+1 , n , (-7)^n-17^n-1 = sumn=1^infty (-1)^n+1 , n , (-1)^n-1 = sumn=1^infty -n e sumn=1^infty (-1)^n+1 , n , (4 + 3)^n-17^n-1 = sumn=1^infty (-1)^n+1 , n , 7^n-17^n-1 = sumn=1^infty (-1)^n+1 , n , para ver se a série converge nesses pontos.
Para :
Substituindo na série:
Essa série é , que diverge.
Para :
Substituindo na série:
Essa é uma série alternada , mas seu termo geral não tende a zero, então também diverge.