Nos exercícios 01 a 21, determine o intervalo de convergência de cada uma das séries de potências.
05) sum1^infty (-1)^n+1 n(x+3)^n-17^n-1

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício 05 que pede para determinar o intervalo de convergência da seguinte série de potências:
sumn=1^infty (-1)^n+1 , n , (x+3)^n-17^n-1
Aqui, estamos trabalhando com séries de potências e precisamos achar para quais valores de essa série converge. Para isso, vamos usar o Teste da razão, que nos ajuda a encontrar o raio de convergência e, consequentemente, o intervalo de convergência da série.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da série para facilitar nossos cálculos. Observamos que (x+3)^n-17^n-1 = ( x+37 )^n-1 e sumn=1^infty (-1)^n+1 , n , ( x+37 )^n-1 podem ser combinados:
Então, nossa série fica:

Passo 3

Para aplicar o Teste da razão, precisamos analisar o limite do valor absoluto do termo geral da série quando an = (-1)^n+1 , n , ( x+37 )^n-1 tende ao infinito. Vamos chamar o termo geral de | an+1an | = | (-1)^(n+1)+1 , (n+1) , ( x+37 )^(n+1)-1(-1)^n+1 , n , ( x+37 )^n-1 | :
| (n+1)n cdot x+37 | = ( 1 + 1n ) cdot | x+37 |
Primeiro, calculamos :
Simplificando:

Passo 4

Agora, calculamos o limite quando L = limn to infty ( 1 + 1n ) cdot | x+37 | = 1 cdot | x+37 | = | x+37 | tende ao infinito:
| x+37 | < 1
Segundo o Teste da razão, a série converge absolutamente se , ou seja:

Passo 5

Vamos resolver a desigualdade:
| x+37 | < 1 Rightarrow -1 < x+37 < 1
Multiplicando todos os termos por 7:
-7 < x + 3 < 7
Subtraindo 3 de todos os lados:
-10 < x < 4
Então, o intervalo inicial de convergência é .

Passo 6

Agora, precisamos verificar as extremidades desse intervalo, ou seja, sumn=1^infty (-1)^n+1 , n , (-10 + 3)^n-17^n-1 = sumn=1^infty (-1)^n+1 , n , (-7)^n-17^n-1 = sumn=1^infty (-1)^n+1 , n , (-1)^n-1 = sumn=1^infty -n e sumn=1^infty (-1)^n+1 , n , (4 + 3)^n-17^n-1 = sumn=1^infty (-1)^n+1 , n , 7^n-17^n-1 = sumn=1^infty (-1)^n+1 , n , para ver se a série converge nesses pontos.
Para :
Substituindo na série:
Essa série é , que diverge.
Para :
Substituindo na série:
Essa é uma série alternada , mas seu termo geral não tende a zero, então também diverge.

Resposta

O intervalo de convergência da série é .

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