Exercício 9. Verifique se as funções abaixo são diferenciáveis no ponto
.
(a)
(a)
Passo 1
Vamos verificar se a função
é diferenciável no ponto
. Para isso, vamos precisar entender de continuidade e derivadas. Primeiro, precisamos garantir que a função é contínua em
e, em seguida, verificar se as derivadas pela esquerda e pela direita nesse ponto são iguais.
Passo 2
Verificando a continuidade em
:
Para a função ser contínua em
, o limite quando
se aproxima de 2 pela esquerda (
) e pela direita (
) deve ser igual ao valor da função em
.
-
Valor da função em
: -
Limite quando
(pela função ): -
Limite quando
(pela função ):
Como todos os limites e o valor da função em
são iguais a 4, a função é contínua em
.
Passo 3
Calculando a derivada pela esquerda em
:
Para
, a função é
. A derivada dessa função é:
Portanto, a derivada pela esquerda em
é:
Passo 4
Calculando a derivada pela direita em
:
Para
, a função é
. A derivada dessa função é:
Então, a derivada pela direita em
é:
Passo 5
Comparando as derivadas:
Temos que:
Como as derivadas pela esquerda e pela direita são diferentes (
), a função não é diferenciável em
.
Resposta
A função
não é diferenciável no ponto
.
Exercícios relacionados
Exercício 8. Calcule
nos seguintes casos:
(a) ;
(a)
Exercício 2. Em cada um dos itens abaixo encontre a equação da reta tangente pelo ponto
do gráfico, sendo dados:
(b) ;
(b)
Exercício 2. Em cada um dos itens abaixo encontre a equação da reta tangente pelo ponto
do gráfico, sendo dados:
(a) ;
(a)
Exercício 2. Em cada um dos itens abaixo encontre a equação da reta tangente pelo ponto
do gráfico, sendo dados:
© ;
©