Exercício 9. Verifique se as funções abaixo são diferenciáveis no ponto .
(a)

Passo 1

Vamos verificar se a função é diferenciável no ponto . Para isso, vamos precisar entender de continuidade e derivadas. Primeiro, precisamos garantir que a função é contínua em e, em seguida, verificar se as derivadas pela esquerda e pela direita nesse ponto são iguais.

Passo 2

Verificando a continuidade em :
Para a função ser contínua em , o limite quando se aproxima de 2 pela esquerda ( ) e pela direita ( ) deve ser igual ao valor da função em .
  • Valor da função em :
  • Limite quando (pela função ):
  • Limite quando (pela função ):
Como todos os limites e o valor da função em são iguais a 4, a função é contínua em .

Passo 3

Calculando a derivada pela esquerda em :
Para , a função é . A derivada dessa função é:
Portanto, a derivada pela esquerda em é:

Passo 4

Calculando a derivada pela direita em :
Para , a função é . A derivada dessa função é:
Então, a derivada pela direita em é:

Passo 5

Comparando as derivadas:
Temos que:
Como as derivadas pela esquerda e pela direita são diferentes ( ), a função não é diferenciável em .

Resposta

A função não é diferenciável no ponto .

Exercícios relacionados

Exercício 8. Calcule nos seguintes casos:
(a) ;
Exercício 2. Em cada um dos itens abaixo encontre a equação da reta tangente pelo ponto do gráfico, sendo dados:
(b) ;
Exercício 2. Em cada um dos itens abaixo encontre a equação da reta tangente pelo ponto do gráfico, sendo dados:
(a) ;
Exercício 2. Em cada um dos itens abaixo encontre a equação da reta tangente pelo ponto do gráfico, sendo dados:
© ;