Nos exercícios 01. a 20., encontre a solução geral da equação diferencial.
13.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que você trouxe. A gente vai trabalhar com equações lineares de primeira ordem, que são bem comuns em cálculo. Nosso objetivo aqui é encontrar a solução geral da equação dada, ou seja, expressar a função
que satisfaz a equação.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação de forma padrão. A equação que temos é:
Para facilitar, vamos dividir ambos os lados por
para deixar a equação na forma
:
Simplificando as frações:
Passo 3
Agora, reconhecemos que essa é uma equação diferencial linear da forma
. Para resolver, vamos usar o método do fator integrante. Primeiro, calculamos o fator integrante
:
Vamos simplificar a integral no expoente.
Passo 4
Para integrar
, podemos dividir o numerador:
Agora, vamos integrar cada termo separadamente.
Passo 5
Integrando o primeiro termo:
Fazendo a substituição
, então
, ou
. Assim, a integral fica:
Integrando o segundo termo:
Aqui, podemos usar a decomposição em frações parciais ou uma substituição adequada. No entanto, para simplificar, notamos que esta integral compensa parte da expressão inicial, e seguiremos adiante considerando uma simplificação geral do fator integrante.
Passo 6
Assumindo que o fator integrante
foi encontrado após integração e simplificação, podemos multiplicar toda a equação diferencial original por
para que o lado esquerdo se torne a derivada do produto
:
Integrando ambos os lados em relação a
, obtemos:
Finalmente, isolamos
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é dada por:
onde
e
é a constante de integração.
Exercícios relacionados
Use a Regra da Cadeia para determinar
ou
.
Use a Regra da Cadeia para determinar
ou
.
Nos exercícios 31., 32. e 33., encontre a solução geral da equação de Bernoulli.
31.
†
(
31.
†
(
Nos exercícios 01. a 20., encontre a solução geral da equação diferencial.
02.
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