Use a Regra da Cadeia para determinar d z / d t ou d w / d t. w = ln(raiz(x^2 + y^2 + z^2)), x = sen(t), y = cos(t), z = tg(t)

Passo 1

Resumo do Enunciado:
Temos a função , onde as variáveis , e são funções de definidas por:
Nosso objetivo é encontrar a derivada de em relação a ( ) ou a derivada de em relação a ( ) utilizando a Regra da Cadeia.
Conteúdo da Matéria:
  • Derivação de funções compostas usando a Regra da Cadeia.
  • Derivadas de funções trigonométricas.
  • Propriedades dos logaritmos.
Ferramentas Necessárias:
Conhecimento básico de cálculo diferencial, incluindo derivadas de funções trigonométricas e manipulação de expressões logarítmicas.

Passo 2

Calculando :
Começamos calculando a derivada de em relação a .
Sabemos que:
A derivada da tangente é:

Passo 3

Calculando :
Agora, vamos encontrar a derivada de em relação a . Dada a função:
Podemos simplificar a expressão dentro do logaritmo:
Aplicando a derivada:
Simplificando:

Passo 4

Substituindo as Funções e suas Derivadas:
Sabemos que:
Substituindo na expressão de :
Simplificando o numerador e o denominador:
Portanto:

Resposta

As derivadas são:
e

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