Use a Regra da Cadeia para determinar ou .

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um exercício de cálculo envolvendo derivadas, especificamente usando a Regra da Cadeia. O problema pede para encontrar a derivada de em relação a , onde:
Então, vamos usar a Regra da Cadeia para descobrir .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que precisamos fazer. Queremos encontrar , que é a taxa de variação de com relação a . Como depende de e , e ambos e dependem de , vamos usar a Regra da Cadeia para derivar .

Passo 3

A Regra da Cadeia nos diz que se , onde e são funções de , então:
No nosso caso, e , então:

Passo 4

Vamos calcular cada uma dessas derivadas parciais.
Primeiro, . A derivada de em relação a é . Então:
E:

Passo 5

Agora, vamos derivar e em relação a .
Sabemos que:

Passo 6

Agora, vamos juntar tudo na fórmula da Regra da Cadeia:
Vamos simplificar:

Passo 7

Substituindo e na expressão:
Simplificando o numerador:
Então:

Resposta

A derivada de em relação a é:

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Suponha que você esteja subindo uma montanha cuja forma é dada pela equação , onde e são medidas em metros e você está em um ponto com coordenadas . O eixo positivo aponta para leste e o eixo positivo
aponta para o norte. Se você andar exatamente para o Sul, começará a subir ou a descer? Com que taxa? Em que direção a inclinação é maior? Qual é a taxa de elevação nessa direção?
Use a Regra da Cadeia para determinar ou .
Nos exercícios 01. a 20., encontre a solução geral da equação diferencial.
13.