Use a Regra da Cadeia para determinar
ou
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um exercício de cálculo envolvendo derivadas, especificamente usando a Regra da Cadeia. O problema pede para encontrar a derivada de
em relação a
, onde:
Então, vamos usar a Regra da Cadeia para descobrir
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que precisamos fazer. Queremos encontrar
, que é a taxa de variação de
com relação a
. Como
depende de
e
, e ambos
e
dependem de
, vamos usar a Regra da Cadeia para derivar
.
Passo 3
A Regra da Cadeia nos diz que se
, onde
e
são funções de
, então:
No nosso caso,
e
, então:
Passo 4
Vamos calcular cada uma dessas derivadas parciais.
Primeiro,
. A derivada de
em relação a
é
. Então:
E:
Passo 5
Agora, vamos derivar
e
em relação a
.
Sabemos que:
Passo 6
Agora, vamos juntar tudo na fórmula da Regra da Cadeia:
Vamos simplificar:
Passo 7
Substituindo
e
na expressão:
Simplificando o numerador:
Então:
Resposta
A derivada de
em relação a
é:
Exercícios relacionados
Suponha que você esteja subindo uma montanha cuja forma é dada pela equação
, onde
e
são medidas em metros e você está em um ponto com coordenadas
. O eixo
positivo aponta para leste e o eixo
positivo
aponta para o norte. Se você andar exatamente para o Sul, começará a subir ou a descer? Com que taxa? Em que direção a inclinação é maior? Qual é a taxa de elevação nessa direção?
aponta para o norte. Se você andar exatamente para o Sul, começará a subir ou a descer? Com que taxa? Em que direção a inclinação é maior? Qual é a taxa de elevação nessa direção?
Use a Regra da Cadeia para determinar
ou
.
Nos exercícios 01. a 20., encontre a solução geral da equação diferencial.
13.
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