Use a Regra da Cadeia para determinar d z / d t ou d w / d t. z = tg^(-1)(x / y), x = e^(t), y = 1 - e^(-t)

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um exercício de cálculo envolvendo derivadas, especificamente usando a Regra da Cadeia. O problema pede para encontrar a derivada de em relação a , onde:
Então, vamos usar a Regra da Cadeia para descobrir .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que precisamos fazer. Queremos encontrar , que é a taxa de variação de com relação a . Como depende de e , e ambos e dependem de , vamos usar a Regra da Cadeia para derivar .

Passo 3

A Regra da Cadeia nos diz que se , onde e são funções de , então:
No nosso caso, e , então:

Passo 4

Vamos calcular cada uma dessas derivadas parciais.
Primeiro, . A derivada de em relação a é . Então:
E:

Passo 5

Agora, vamos derivar e em relação a .
Sabemos que:

Passo 6

Agora, vamos juntar tudo na fórmula da Regra da Cadeia:
Vamos simplificar:

Passo 7

Substituindo e na expressão:
Simplificando o numerador:
Então:

Resposta

A derivada de em relação a é:

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