Nos exercícios 31., 32. e 33., encontre a solução geral da equação de Bernoulli.
31.


(

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me passou um exercício sobre a equação de Bernoulli, que é um tipo especial de equação diferencial. Nosso objetivo aqui é encontrar a solução geral da equação dada:
Para isso, vamos precisar aplicar métodos específicos para resolver equações de Bernoulli, que envolvem uma substituição para transformar a equação em uma forma linear mais fácil de resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para o padrão padrão da equação de Bernoulli:
No nosso caso, identificamos:

Passo 3

A equação de Bernoulli não é linear devido ao termo . Para resolver, fazemos uma substituição que torna a equação linear. Vamos definir:
Agora, derivamos em relação a :

Passo 4

Substituímos na equação original usando a expressão de :
Substituindo na equação original:
Dividindo todos os termos por :
Lembrando que , substituímos novamente:
Multiplicando toda a equação por -3 para simplificar:
Agora, temos uma equação linear em , que podemos resolver usando o fator integrante.

Passo 5

Calculamos o fator integrante :
Multiplicamos toda a equação por :
Isso simplifica para:
Integrando ambos os lados:
Fazendo a substituição , , temos:
Então:
Dividindo por :

Passo 6

Lembrando que , substituímos de volta:
Resolvendo para :

Resposta

A solução geral da equação de Bernoulli dada é:
onde é a constante de integração.

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