Nos exercícios 31., 32. e 33., encontre a solução geral da equação de Bernoulli.
31.
†
(
31.
†
(
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me passou um exercício sobre a equação de Bernoulli, que é um tipo especial de equação diferencial. Nosso objetivo aqui é encontrar a solução geral da equação dada:
Para isso, vamos precisar aplicar métodos específicos para resolver equações de Bernoulli, que envolvem uma substituição para transformar a equação em uma forma linear mais fácil de resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para o padrão padrão da equação de Bernoulli:
No nosso caso, identificamos:
Passo 3
A equação de Bernoulli não é linear devido ao termo
. Para resolver, fazemos uma substituição que torna a equação linear. Vamos definir:
Agora, derivamos
em relação a
:
Passo 4
Substituímos
na equação original usando a expressão de
:
Substituindo na equação original:
Dividindo todos os termos por
:
Lembrando que
, substituímos novamente:
Multiplicando toda a equação por -3 para simplificar:
Agora, temos uma equação linear em
, que podemos resolver usando o fator integrante.
Passo 5
Calculamos o fator integrante
:
Multiplicamos toda a equação por
:
Isso simplifica para:
Integrando ambos os lados:
Fazendo a substituição
,
, temos:
Então:
Dividindo por
:
Passo 6
Lembrando que
, substituímos de volta:
Resolvendo para
:
Resposta
A solução geral da equação de Bernoulli dada é:
onde
é a constante de integração.
Exercícios relacionados
Nos exercícios 01. a 20., encontre a solução geral da equação diferencial.
13.
13.
Use a Regra da Cadeia para determinar
ou
.
Nos exercícios 01. a 20., encontre a solução geral da equação diferencial.
02.
02.
Se
é solução da equação
, verifique que a função
, sendo
uma constante, também é.