Nos exercícios 01. a 20., encontre a solução geral da equação diferencial.
15.
15.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial
. Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial de primeira ordem, o que significa que envolve a derivada de primeira de
em relação a
. Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de separação de variáveis e propriedades de exponenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos isolar
na equação para facilitar a manipulação. Começamos dividindo ambos os lados por
:
Passo 3
Simplificando a fração com as propriedades das potências de exponenciais (
):
Agora, temos:
Passo 4
Vamos separar as variáveis
e
. Isso significa colocar todos os termos com
de um lado e os com
do outro:
Aqui, multiplicamos ambos os lados por
para isolar
e organizar os termos.
Passo 5
Agora, integramos ambos os lados para encontrar
em termos de
:
Calculando as integrais:
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Vamos resolver para
:
Aplicando o logaritmo natural em ambos os lados para isolar
:
Finalmente, dividindo por 2:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é a constante de integração.
Exercícios relacionados
Nos exercícios 01. a 20., encontre a solução geral da equação diferencial.
04.
04.
Se
é solução da equação
, verifique que a função
, sendo
uma constante, também é.
Nos exercícios 01. a 20., encontre a solução geral da equação diferencial.
20. .
20.
Toda equação diferencial que pode ser colocada na forma
é uma equação de Riccati.
a) Se ou se
, qual o método de solução aplicável à equação de Riccati?
a) Se