Nos exercícios 01. a 20., encontre a solução geral da equação diferencial.
15.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial . Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial de primeira ordem, o que significa que envolve a derivada de primeira de em relação a . Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de separação de variáveis e propriedades de exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos isolar na equação para facilitar a manipulação. Começamos dividindo ambos os lados por :

Passo 3

Simplificando a fração com as propriedades das potências de exponenciais ( ):
Agora, temos:

Passo 4

Vamos separar as variáveis e . Isso significa colocar todos os termos com de um lado e os com do outro:
Aqui, multiplicamos ambos os lados por para isolar e organizar os termos.

Passo 5

Agora, integramos ambos os lados para encontrar em termos de :
Calculando as integrais:
onde é a constante de integração.

Passo 6

Vamos resolver para :
Aplicando o logaritmo natural em ambos os lados para isolar :
Finalmente, dividindo por 2:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é a constante de integração.

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20. .
Toda equação diferencial que pode ser colocada na forma é uma equação de Riccati.
a) Se ou se , qual o método de solução aplicável à equação de Riccati?