Se f(x) é solução da equação y^prime+a(x) y=b(x), verifique que a função g(x)=f(x)+ k e^-integral a(x) d x, sendo k uma constante, também é.

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a gente tem aqui. Temos uma equação diferencial de primeira ordem: . Sabemos que resolve essa equação, ou seja, quando a gente coloca na equação, ela funciona. A parada quer que a gente verifique se uma nova função , onde é uma constante, também resolve a mesma equação. Vamos usar conhecimentos de equações diferenciais para checar isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa que f'(x) + a(x) f(x) = b(x) seja uma solução. Isso quer dizer que, ao substituir por na equação, ela se mantém igual. Ou seja:
Isso é a base para o que vamos fazer.

Passo 3

Agora, vamos trabalhar com a função . Pra saber se também é solução, a gente precisa calcular a derivada de e ver se, ao colocar na equação, ela dá certo.

Passo 4

Calculando a derivada de g'(x) = ddx ( f(x) + k e^-integral a(x) dx ) = f'(x) + k cdot ddx ( e^-integral a(x) dx ) :
g'(x) = f'(x) - k a(x) e^-integral a(x) dx
A derivada de é , então:

Passo 5

Agora, vamos substituir g'(x) + a(x) g(x) = ( f'(x) - k a(x) e^-integral a(x) dx ) + a(x) ( f(x) + k e^-integral a(x) dx ) e g'(x) + a(x) g(x) = f'(x) - k a(x) e^-integral a(x) dx + a(x) f(x) + k a(x) e^-integral a(x) dx na equação original :
Distribuindo o :

Passo 6

Observa que os termos g'(x) + a(x) g(x) = f'(x) + a(x) f(x) e f'(x) + a(x) f(x) = b(x) se cancelam:
E como sabemos que é solução, temos que:

Passo 7

Então, a substituição resultou em , que é exatamente o que a equação pede. Isso confirma que também satisfaz a equação diferencial.

Resposta

A função também é uma solução da equação diferencial .

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