Se
é solução da equação
, verifique que a função
, sendo
uma constante, também é.
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a gente tem aqui. Temos uma equação diferencial de primeira ordem:
. Sabemos que
resolve essa equação, ou seja, quando a gente coloca
na equação, ela funciona. A parada quer que a gente verifique se uma nova função
, onde
é uma constante, também resolve a mesma equação. Vamos usar conhecimentos de equações diferenciais para checar isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa que
seja uma solução. Isso quer dizer que, ao substituir
por
na equação, ela se mantém igual. Ou seja:
Isso é a base para o que vamos fazer.
Passo 3
Agora, vamos trabalhar com a função
. Pra saber se
também é solução, a gente precisa calcular a derivada de
e ver se, ao colocar
na equação, ela dá certo.
Passo 4
Calculando a derivada de
:
A derivada de
é
, então:
Passo 5
Agora, vamos substituir
e
na equação original
:
Distribuindo o
:
Passo 6
Observa que os termos
e
se cancelam:
E como sabemos que
é solução, temos que:
Passo 7
Então, a substituição resultou em
, que é exatamente o que a equação pede. Isso confirma que
também satisfaz a equação diferencial.
Resposta
A função
também é uma solução da equação diferencial
.
Exercícios relacionados
Nos exercícios 01. a 20., encontre a solução geral da equação diferencial.
02.
02.
Nos exercícios 31., 32. e 33., encontre a solução geral da equação de Bernoulli.
31.
†
(
31.
†
(
Nos exercícios 01. a 20., encontre a solução geral da equação diferencial.
04.
04.
Nos exercícios 01. a 20., encontre a solução geral da equação diferencial.
15.
15.