Nos exercícios 01. a 20., encontre a solução geral da equação diferencial. x y' - y = 2[y' + (x - 2)^3]

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado pede para encontrar a solução geral da equação:
Estamos lidando com uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, vamos reorganizar a equação para a forma padrão e usar o fator integrante.

Passo 2

Primeiro, vamos expandir o lado direito da equação:
Agora, vamos trazer todos os termos que envolvem para um lado e os demais para o outro:
Fatorando :

Passo 3

Vamos reescrever a equação para ficar mais clara:
Aqui, a equação está na forma padrão de uma equação diferencial linear:
Onde:

Passo 4

Para resolver essa equação, precisamos encontrar o fator integrante ( ), que é dado por:
Substituindo :
Assumindo que (para simplificar), podemos tirar os valores absolutos:

Passo 5

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante:
Observamos que o lado esquerdo agora é a derivada do produto do fator integrante pela função :

Passo 6

Integrando ambos os lados em relação a :
A integral do lado esquerdo simplifica para:
Calculando a integral do lado direito:
Onde é a constante de integração.

Passo 7

Agora, isolamos :
Multiplicando ambos os lados por :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é uma constante arbitrária.

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