Nos exercícios 01. a 20., encontre a solução geral da equação diferencial.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado pede para encontrar a solução geral da equação:
Estamos lidando com uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, vamos reorganizar a equação para a forma padrão e usar o fator integrante.
Passo 2
Primeiro, vamos expandir o lado direito da equação:
Agora, vamos trazer todos os termos que envolvem
para um lado e os demais para o outro:
Fatorando
:
Passo 3
Vamos reescrever a equação para ficar mais clara:
Aqui, a equação está na forma padrão de uma equação diferencial linear:
Onde:
Passo 4
Para resolver essa equação, precisamos encontrar o fator integrante (
), que é dado por:
Substituindo
:
Assumindo que
(para simplificar), podemos tirar os valores absolutos:
Passo 5
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante:
Observamos que o lado esquerdo agora é a derivada do produto do fator integrante pela função
:
Passo 6
Integrando ambos os lados em relação a
:
A integral do lado esquerdo simplifica para:
Calculando a integral do lado direito:
Onde
é a constante de integração.
Passo 7
Agora, isolamos
:
Multiplicando ambos os lados por
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é uma constante arbitrária.