Nos exercícios 01. a 20., encontre a solução geral da equação diferencial.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado pede para encontrar a solução geral da equação
. Vamos precisar usar conhecimentos sobre equações diferenciais lineares de primeira ordem e o método do fator integrante para chegar na solução.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar a equação para o formato padrão de uma equação diferencial linear, que é
. Para isso, dividimos todos os termos por
:
Simplificando:
Agora temos a equação no formato
, onde:
Passo 3
Vamos encontrar o fator integrante
, que é dado por:
Substituindo
:
Vamos simplificar a integral no expoente. Podemos quebrar a fração:
Então:
Passo 4
Vamos calcular as integrais:
Primeiro,
. Seja
, então
, então a integral fica:
Segundo,
Portanto:
Passo 5
Agora que temos o fator integrante
, multiplicamos toda a equação original por
:
Simplificando, a equação se torna:
Passo 6
Integrando ambos os lados:
Simplificando a integral:
Essa integral pode ser resolvida por substituição, mas para simplificar, vamos deixar a expressão em termos da integral definida, já que envolve funções logarítmicas complexas.
Passo 7
Finalmente, isolamos
:
Portanto, a solução geral da equação diferencial é:
Resposta
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