Nos exercícios 01. a 20., encontre a solução geral da equação diferencial. x(x-1) y' + y = x^2(2x-1)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial: . Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial de primeiro grau, especificamente uma equação linear. Para resolver, vamos precisar conhecer o método das equações lineares de primeira ordem e usar um fator integrante.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar a equação para o formato padrão . Dividindo ambos os lados por :
Simplificando a fração à direita:

Passo 3

Agora, identificamos e . O próximo passo é encontrar o fator integrante , que é dado por:

Passo 4

Calculamos a integral de :
Para resolver essa integral, usamos frações parciais:
Multiplicando ambos os lados por :
Resolvendo, encontramos e . Assim:
Portanto:

Passo 5

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante :
Simplificando:
Isso permite que o lado esquerdo seja a derivada de :

Passo 6

Integrando ambos os lados:
O lado esquerdo simplifica para , e a integral do lado direito é:
Então:

Passo 7

Finalmente, resolvemos para :
Podemos deixar a solução assim ou simplificar mais, dependendo da preferência.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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