Nos exercícios 01. a 20., encontre a solução geral da equação diferencial.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial:
. Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial de primeiro grau, especificamente uma equação linear. Para resolver, vamos precisar conhecer o método das equações lineares de primeira ordem e usar um fator integrante.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar a equação para o formato padrão
. Dividindo ambos os lados por
:
Simplificando a fração à direita:
Passo 3
Agora, identificamos
e
. O próximo passo é encontrar o fator integrante
, que é dado por:
Passo 4
Calculamos a integral de
:
Para resolver essa integral, usamos frações parciais:
Multiplicando ambos os lados por
:
Resolvendo, encontramos
e
. Assim:
Portanto:
Passo 5
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante
:
Simplificando:
Isso permite que o lado esquerdo seja a derivada de
:
Passo 6
Integrando ambos os lados:
O lado esquerdo simplifica para
, e a integral do lado direito é:
Então:
Passo 7
Finalmente, resolvemos para
:
Podemos deixar a solução assim ou simplificar mais, dependendo da preferência.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é: