Nos exercícios 01. a 20., encontre a solução geral da equação diferencial.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial para resolver:
. Nosso objetivo é encontrar a solução geral dessa equação. Para isso, vamos usar conceitos de equações diferenciais, especialmente o método de separação de variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos isolar a derivada
. Para isso, dividimos ambos os lados da equação por
:
Passo 3
Agora, vamos simplificar a expressão do lado direito. Lembrando que
, temos:
Passo 4
A equação ficou assim:
Essa é uma equação diferencial separável, o que significa que podemos separar as variáveis
e
em lados opostos da equação.
Passo 5
Vamos separar as variáveis multiplicando ambos os lados por
:
Agora, temos todas as funções de
de um lado e as de
do outro.
Passo 6
Vamos integrar ambos os lados da equação:
Passo 7
Calculando as integrais:
-
Do lado esquerdo:
-
Do lado direito:
Passo 8
Igualando as duas integrais e juntando as constantes de integração:
Aqui,
é uma constante qualquer.
Passo 9
Vamos resolver para
. Primeiro, multiplicamos ambos os lados por 2:
Onde
.
Agora, aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados para isolar
:
Dividindo tudo por 2:
Podemos simplificar a constante para
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é
, onde
é uma constante arbitrária.
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