Nos exercícios 01. a 20., encontre a solução geral da equação diferencial.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial para resolver: . Nosso objetivo é encontrar a solução geral dessa equação. Para isso, vamos usar conceitos de equações diferenciais, especialmente o método de separação de variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos isolar a derivada . Para isso, dividimos ambos os lados da equação por :

Passo 3

Agora, vamos simplificar a expressão do lado direito. Lembrando que , temos:

Passo 4

A equação ficou assim:
Essa é uma equação diferencial separável, o que significa que podemos separar as variáveis e em lados opostos da equação.

Passo 5

Vamos separar as variáveis multiplicando ambos os lados por :
Agora, temos todas as funções de de um lado e as de do outro.

Passo 6

Vamos integrar ambos os lados da equação:

Passo 7

Calculando as integrais:
  • Do lado esquerdo:
  • Do lado direito:

Passo 8

Igualando as duas integrais e juntando as constantes de integração:
Aqui, é uma constante qualquer.

Passo 9

Vamos resolver para . Primeiro, multiplicamos ambos os lados por 2:
Onde .
Agora, aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados para isolar :
Dividindo tudo por 2:
Podemos simplificar a constante para :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é , onde é uma constante arbitrária.

Exercícios relacionados

Nos exercícios 01. a 20., encontre a solução geral da equação diferencial.
Nos exercícios 01. a 20., encontre a solução geral da equação diferencial.
Nos exercícios 01. a 20., encontre a solução geral da equação diferencial.
Nos exercícios 01. a 20., encontre a solução geral da equação diferencial.