Questão 01. (3,0 pontos) Dada a equação
Aplique o Método de Newton-Raphson (MNR) para encontrar 4 iterações para o cálculo da raiz. Toma-se, como valor inicial de e utiliza-se nos resultados 4 casas decimais.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos a equação:
O objetivo aqui é encontrar a raiz dessa equação usando o Método de Newton-Raphson (MNR), começando com e realizando 4 iterações. Para isso, vamos precisar entender:
  • Método de Newton-Raphson: é uma técnica para encontrar aproximações sucessivas de raízes de uma função.
  • Cálculo de derivadas: porque o método usa a derivada da função para encontrar a próxima aproximação.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para que fique igual a zero:
Então, nossa função é:
Para aplicar o Método de Newton-Raphson, precisamos também da derivada dessa função, .

Passo 3

Vamos calcular a derivada . Lembre-se que:
A derivada será:
Vamos chamar a função dentro da derivada de , onde:
Usando a regra do quociente:
Vamos calcular e :
Então, substituindo:
Simplificando um pouco:

Passo 4

Agora que temos e , vamos aplicar o Método de Newton-Raphson. A fórmula para a próxima aproximação é:
Começamos com . Vamos calcular as 4 iterações:
Iteração 1:
Calculamos e :
á
Então:
Iteração 2:
Agora, :
á
Iteração 3 e 4:
Repetimos o mesmo processo para e , sempre aplicando a fórmula:
Cada iteração nos aproxima mais da raiz da equação.

Resposta

Após 4 iterações do Método de Newton-Raphson, a raiz aproximada da equação é .

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