Nos exercícios 01. a 20., encontre a solução geral da equação diferencial.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que pede para encontrar a solução geral de uma equação diferencial. A equação dada é:
Isso faz parte do estudo de equações diferenciais, especificamente das equações diferenciais lineares de primeira ordem. Para resolver esse tipo de equação, vamos precisar usar o método do fator integrante.
Passo 2
Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão das equações diferenciais lineares de primeira ordem, que é:
Na nossa equação:
Podemos reescrever como:
Aqui, identificamos que
e
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar o fator integrante
, que é dado por:
Substituindo
:
Passo 4
Em seguida, multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante
:
Simplificando os termos:
Passo 5
O lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto
. Ou seja:
Isso nos permite integrar ambos os lados em relação a
:
Passo 6
A integral do lado esquerdo é simples:
Agora, precisamos resolver a integral do lado direito.
Passo 7
Para resolver
, usamos a substituição. Vamos deixar
, então
.
Substituindo na integral:
Passo 8
Voltando à nossa equação principal:
Agora, isolamos
multiplicando ambos os lados por
:
Simplificando a expressão:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é: