Nos exercícios 01. a 20., encontre a solução geral da equação diferencial. y' - y = 2 x e^(x^2 + x)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que pede para encontrar a solução geral de uma equação diferencial. A equação dada é:
Isso faz parte do estudo de equações diferenciais, especificamente das equações diferenciais lineares de primeira ordem. Para resolver esse tipo de equação, vamos precisar usar o método do fator integrante.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão das equações diferenciais lineares de primeira ordem, que é:
Na nossa equação:
Podemos reescrever como:
Aqui, identificamos que e .

Passo 3

Agora, vamos encontrar o fator integrante , que é dado por:
Substituindo :

Passo 4

Em seguida, multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante :
Simplificando os termos:

Passo 5

O lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto . Ou seja:
Isso nos permite integrar ambos os lados em relação a :

Passo 6

A integral do lado esquerdo é simples:
Agora, precisamos resolver a integral do lado direito.

Passo 7

Para resolver , usamos a substituição. Vamos deixar , então .
Substituindo na integral:

Passo 8

Voltando à nossa equação principal:
Agora, isolamos multiplicando ambos os lados por :
Simplificando a expressão:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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