Nos exercícios 01. a 20., encontre a solução geral da equação diferencial. x(y' + 2) = y + x^3 + 3x^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de equação diferencial para resolver. O enunciado pede para encontrar a solução geral da equação diferencial:
Pra resolver isso, vamos precisar entender de equações diferenciais lineares de primeira ordem e como rearranjá-las na forma padrão que facilita a aplicação de métodos para encontrar a solução.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação pra deixar sozinho. Começamos dividindo ambos os lados por :
Agora, colocamos todos os termos com do lado esquerdo e os demais do lado direito:

Passo 3

Essa equação está na forma padrão de uma equação diferencial linear:
Aqui, podemos identificar:
Para resolver esse tipo de equação, usamos o fator integrante, que é encontrado pela fórmula:
Vamos calcular esse fator.

Passo 4

Calculando o fator integrante :

Passo 5

Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante :

Passo 6

O lado esquerdo da equação agora representa a derivada do produto :
Agora, integramos ambos os lados em relação a .

Passo 7

Integrando:
Do lado esquerdo, a integral da derivada é simplesmente .
Do lado direito:
Então:

Passo 8

Agora, resolvemos para :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é a constante de integração.

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