Nos exercícios 01. a 20., encontre a solução geral da equação diferencial.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de equação diferencial para resolver. O enunciado pede para encontrar a solução geral da equação diferencial:
Pra resolver isso, vamos precisar entender de equações diferenciais lineares de primeira ordem e como rearranjá-las na forma padrão que facilita a aplicação de métodos para encontrar a solução.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação pra deixar
sozinho. Começamos dividindo ambos os lados por
:
Agora, colocamos todos os termos com
do lado esquerdo e os demais do lado direito:
Passo 3
Essa equação está na forma padrão de uma equação diferencial linear:
Aqui, podemos identificar:
Para resolver esse tipo de equação, usamos o fator integrante, que é encontrado pela fórmula:
Vamos calcular esse fator.
Passo 4
Calculando o fator integrante
:
Passo 5
Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante
:
Passo 6
O lado esquerdo da equação agora representa a derivada do produto
:
Agora, integramos ambos os lados em relação a
.
Passo 7
Integrando:
Do lado esquerdo, a integral da derivada é simplesmente
.
Do lado direito:
Então:
Passo 8
Agora, resolvemos para
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é a constante de integração.