Nos exercícios 01. a 20., encontre a solução geral da equação diferencial.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a solução geral da equação diferencial
. Estamos lidando com equações diferenciais ordinárias de primeira ordem, e para resolver isso, vamos precisar entender equações exatas e como identificar se a equação dada é exata. Vamos seguir passo a passo para chegar à solução!
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial na forma padrão:
Aqui, temos:
Passo 3
Agora, precisamos verificar se a equação é exata. Uma equação é exata se a derivada parcial de
em relação a
for igual à derivada parcial de
em relação a
. Vamos calcular essas derivadas:
Como
, a equação é exata!
Passo 4
Sabendo que a equação é exata, existe uma função
tal que:
Para encontrar
, vamos integrar
em relação a
:
Aqui,
é uma função de
que aparece pela integração.
Passo 5
Para determinar
, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Isso nos dá:
Integrando
, encontramos que
é uma constante, vamos chamar de
.
Passo 6
Agora, temos a função potencial
:
Como
é constante ao longo das soluções da equação diferencial, podemos escrever a solução geral como:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é
, onde
é uma constante.