Nos exercícios 01. a 20., encontre a solução geral da equação diferencial. 3 x^2 y dx + x^3 dy = 0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a solução geral da equação diferencial . Estamos lidando com equações diferenciais ordinárias de primeira ordem, e para resolver isso, vamos precisar entender equações exatas e como identificar se a equação dada é exata. Vamos seguir passo a passo para chegar à solução!

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial na forma padrão:
Aqui, temos:

Passo 3

Agora, precisamos verificar se a equação é exata. Uma equação é exata se a derivada parcial de em relação a for igual à derivada parcial de em relação a . Vamos calcular essas derivadas:
Como , a equação é exata!

Passo 4

Sabendo que a equação é exata, existe uma função tal que:
Para encontrar , vamos integrar em relação a :
Aqui, é uma função de que aparece pela integração.

Passo 5

Para determinar , derivamos em relação a e igualamos a :
Isso nos dá:
Integrando , encontramos que é uma constante, vamos chamar de .

Passo 6

Agora, temos a função potencial :
Como é constante ao longo das soluções da equação diferencial, podemos escrever a solução geral como:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é , onde é uma constante.

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