Nos exercícios 01. a 20., encontre a solução geral da equação diferencial.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! Temos a equação:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar entender como manipular equações lineares e utilizar um fator integrante. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos colocar a equação no formato padrão de uma equação diferencial linear, que é:
Para isso, vamos dividir toda a equação por
:
Simplificando os termos:
Passo 3
Agora, reescrevemos a equação para deixar
e
de um lado:
Aqui, identificamos
e
.
Passo 4
Para resolver uma equação linear, precisamos encontrar o fator integrante, que é dado por:
Substituindo
:
Passo 5
Vamos calcular a integral no expoente:
Fazendo uma substituição
, então
. A integral fica:
Portanto, o fator integrante é:
Passo 6
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante
:
Isso nos permite reescrever a equação como:
Passo 7
Agora, integramos ambos os lados em relação a
:
Onde
é a constante de integração.
Passo 8
Vamos resolver a integral:
Faremos uma substituição
, então
e
. Substituindo:
Essa integral pode ser resolvida por partes ou reconhecendo uma solução padrão, resultando em uma expressão envolvendo funções logarítmicas e exponenciais.
Passo 9
Após resolver a integral, voltamos à equação:
Multiplicando ambos os lados por
, obtemos a solução geral da equação diferencial:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é a constante de integração.