Nos exercícios 01. a 20., encontre a solução geral da equação diferencial. y' * x * ln(x) + x^3 * (1 - 3 * ln(x)) = y

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! Temos a equação:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar entender como manipular equações lineares e utilizar um fator integrante. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação no formato padrão de uma equação diferencial linear, que é:
Para isso, vamos dividir toda a equação por :
Simplificando os termos:

Passo 3

Agora, reescrevemos a equação para deixar e de um lado:
Aqui, identificamos e .

Passo 4

Para resolver uma equação linear, precisamos encontrar o fator integrante, que é dado por:
Substituindo :

Passo 5

Vamos calcular a integral no expoente:
Fazendo uma substituição , então . A integral fica:
Portanto, o fator integrante é:

Passo 6

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante :
Isso nos permite reescrever a equação como:

Passo 7

Agora, integramos ambos os lados em relação a :
Onde é a constante de integração.

Passo 8

Vamos resolver a integral:
Faremos uma substituição , então e . Substituindo:
Essa integral pode ser resolvida por partes ou reconhecendo uma solução padrão, resultando em uma expressão envolvendo funções logarítmicas e exponenciais.

Passo 9

Após resolver a integral, voltamos à equação:
Multiplicando ambos os lados por , obtemos a solução geral da equação diferencial:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é a constante de integração.

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