Questão 02. (3,0 pontos) O modelo proposto para a
caracteriza o fenômeno de Runge, o qual está escrito abaixo.
A função acima é usada para construir a tabela de resultados como segue.
Encontrar o polinômio interpolador de Newton de grau 3 que aproxima a função no intervalo
|
|
|
|
|
|
|
Passo 1
Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função
que representa o fenômeno de Runge. Ela é dada por:
O objetivo aqui é construir uma tabela de valores para essa função em certos pontos e, com esses valores, encontrar o polinômio interpolador de Newton de grau 3 que aproxima a função no intervalo de
. Para isso, vamos precisar entender o que é interpolação, como calcular
em pontos específicos e depois aplicar a fórmula de Newton para encontrar o polinômio desejado.
Passo 2
Primeiro, vamos preencher a tabela com os valores de
para cada
dado. Os pontos fornecidos são:
Vamos calcular
para cada um desses valores.
Passo 3
Vamos calcular
para
:
Calculando os valores:
Então:
Passo 4
Agora, vamos calcular
para os outros pontos:
Para
:
Calculando os valores:
Então:
Passo 5
Para
:
Calculando os valores:
Então:
Passo 6
Para
:
Calculando os valores:
Então:
Passo 7
Finalmente, para
:
Calculando os valores:
Então:
Passo 8
Agora que temos todos os valores de
, vamos preencher a tabela:
Passo 9
Agora, vamos construir o polinômio interpolador de Newton de grau 3. A fórmula geral do polinômio de Newton é:
Onde
,
, e
são as diferenças divididas que calculamos a partir dos valores de
.
Passo 10
Vamos calcular as diferenças divididas:
Primeiro,
:
Passo 11
Agora, calculamos as diferenças divididas de segunda ordem:
Passo 12
Em seguida, as diferenças divididas de terceira ordem:
Passo 13
Agora, substituímos esses valores na fórmula do polinômio de Newton:
Substituindo:
Resposta
O polinômio interpolador de Newton de grau 3 que aproxima a função
no intervalo
é: