Questão 02. (3,0 pontos) O modelo proposto para a caracteriza o fenômeno de Runge, o qual está escrito abaixo.
A função acima é usada para construir a tabela de resultados como segue.
Encontrar o polinômio interpolador de Newton de grau 3 que aproxima a função no intervalo

Passo 1

Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função que representa o fenômeno de Runge. Ela é dada por:
O objetivo aqui é construir uma tabela de valores para essa função em certos pontos e, com esses valores, encontrar o polinômio interpolador de Newton de grau 3 que aproxima a função no intervalo de . Para isso, vamos precisar entender o que é interpolação, como calcular em pontos específicos e depois aplicar a fórmula de Newton para encontrar o polinômio desejado.

Passo 2

Primeiro, vamos preencher a tabela com os valores de para cada dado. Os pontos fornecidos são:
Vamos calcular para cada um desses valores.

Passo 3

Vamos calcular para :
Calculando os valores:
Então:

Passo 4

Agora, vamos calcular para os outros pontos:
Para :
Calculando os valores:
Então:

Passo 5

Para :
Calculando os valores:
Então:

Passo 6

Para :
Calculando os valores:
Então:

Passo 7

Finalmente, para :
Calculando os valores:
Então:

Passo 8

Agora que temos todos os valores de , vamos preencher a tabela:

Passo 9

Agora, vamos construir o polinômio interpolador de Newton de grau 3. A fórmula geral do polinômio de Newton é:
Onde , , e são as diferenças divididas que calculamos a partir dos valores de .

Passo 10

Vamos calcular as diferenças divididas:
Primeiro, :

Passo 11

Agora, calculamos as diferenças divididas de segunda ordem:

Passo 12

Em seguida, as diferenças divididas de terceira ordem:

Passo 13

Agora, substituímos esses valores na fórmula do polinômio de Newton:
Substituindo:

Resposta

O polinômio interpolador de Newton de grau 3 que aproxima a função no intervalo é:

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