Questão 02. (3,0 pontos) O modelo proposto para a
caracteriza o fenômeno de Runge, o qual está escrito abaixo.
A função acima é usada para construir a tabela de resultados como segue.
Encontrar o polinômio interpolador de Newton de grau 3 que aproxima a função no intervalo
|
|
|
|
|
|
|
Passo 1
Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função
que representa o fenômeno de Runge. Ela é dada por:
O objetivo aqui é construir uma tabela de valores para essa função em certos pontos e, com esses valores, encontrar o polinômio interpolador de Newton de grau 3 que aproxima a função no intervalo de
. Para isso, vamos precisar entender o que é interpolação, como calcular
em pontos específicos e depois aplicar a fórmula de Newton para encontrar o polinômio desejado.
Passo 2
Primeiro, vamos preencher a tabela com os valores de
para cada
dado. Os pontos fornecidos são:
Vamos calcular
para cada um desses valores.
Passo 3
Vamos calcular
para
:
Calculando os valores:
Então:
Passo 4
Agora, vamos calcular
para os outros pontos:
Para
:
Calculando os valores:
Então:
Passo 5
Para
:
Calculando os valores:
Então:
Passo 6
Para
:
Calculando os valores:
Então:
Passo 7
Finalmente, para
:
Calculando os valores:
Então:
Passo 8
Agora que temos todos os valores de
, vamos preencher a tabela:
Passo 9
Agora, vamos construir o polinômio interpolador de Newton de grau 3. A fórmula geral do polinômio de Newton é:
Onde
,
, e
são as diferenças divididas que calculamos a partir dos valores de
.
Passo 10
Vamos calcular as diferenças divididas:
Primeiro,
:
Passo 11
Agora, calculamos as diferenças divididas de segunda ordem:
Passo 12
Em seguida, as diferenças divididas de terceira ordem:
Passo 13
Agora, substituímos esses valores na fórmula do polinômio de Newton:
Substituindo:
Resposta
O polinômio interpolador de Newton de grau 3 que aproxima a função
no intervalo
é:
Exercícios relacionados
Questão 01. (3,0 pontos) Dada a equação
Aplique o Método de Newton-Raphson (MNR) para encontrar 4 iterações para o cálculo da raiz. Toma-se, como valor inicial de
e utiliza-se nos resultados 4 casas decimais.
Nos exercícios 01. a 20., encontre a solução geral da equação diferencial.
Questão 03. Resolva as integrais abaixo usando as seguintes técnicas:
a.) (1,0 pontos) Aplique a técnica do trapézio para resolver a integral e expresse os resultados com três decimais.
a.) (1,0 pontos) Aplique a técnica do trapézio para resolver a integral e expresse os resultados com três decimais.
Questão 03. Resolva as integrais abaixo usando as seguintes técnicas:
b.) (1,0 pontos) Encontre um valor aproximado para as integrais abaixo, use a regra de Simpson, e expresse os resultados com três decimais.
b.) (1,0 pontos) Encontre um valor aproximado para as integrais abaixo, use a regra de Simpson, e expresse os resultados com três decimais.