Questão 02. (3,0 pontos) O modelo proposto para a f(x) caracteriza o fenômeno de Runge, o qual está escrito abaixo.
f(x)=e^3 x-1e^2 x+x raizx^3
A função acima é usada para construir a tabela de resultados como segue.
|l|l|l|l|l|l| hline$x1$ & $x0=0,6$ & $x1=0,12$ & $x2=0,18$ & $x3=0,24$ & $x3=0,30$ hline$f(xi)$ & & & & & hline [0,6 ; 0,30]
Encontrar o polinômio interpolador de Newton de grau 3 que aproxima a função no intervalo

Passo 1

Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função f(x) = e^3x - 1e^2x + x raizx^3 que representa o fenômeno de Runge. Ela é dada por:
O objetivo aqui é construir uma tabela de valores para essa função em certos pontos e, com esses valores, encontrar o polinômio interpolador de Newton de grau 3 que aproxima a função no intervalo de . Para isso, vamos precisar entender o que é interpolação, como calcular em pontos específicos e depois aplicar a fórmula de Newton para encontrar o polinômio desejado.

Passo 2

Primeiro, vamos preencher a tabela com os valores de x0 = 0,6; x1 = 0,12; x2 = 0,18; x3 = 0,24; x4 = 0,30 para cada dado. Os pontos fornecidos são:
Vamos calcular para cada um desses valores.

Passo 3

Vamos calcular f(0,6) = e^3 times 0,6 - 1e^2 times 0,6 + 0,6 times raiz(0,6)^3 = e^1,8 - 1e^1,2 + 0,6 times raiz0,216 = e^0,8e^1,2 + 0,6 times 0,464 para e^0,8 approx 2,2255; e^1,2 approx 3,3201; 0,6 times 0,464 approx 0,2784 :
f(0,6) approx 2,22553,3201 + 0,2784 = 2,22553,5985 approx 0,6176
Calculando os valores:
Então:

Passo 4

Agora, vamos calcular f(0,12) = e^3 times 0,12 - 1e^2 times 0,12 + 0,12 times raiz(0,12)^3 = e^0,36 - 1e^0,24 + 0,12 times raiz0,001728 = e^-0,64e^0,24 + 0,12 times 0,0416 para os outros pontos:
Para e^-0,64 approx 0,5273; e^0,24 approx 1,2712; 0,12 times 0,0416 approx 0,0050 :
f(0,12) approx 0,52731,2712 + 0,0050 = 0,52731,2762 approx 0,4125
Calculando os valores:
Então:

Passo 5

Para f(0,18) = e^3 times 0,18 - 1e^2 times 0,18 + 0,18 times raiz(0,18)^3 = e^0,54 - 1e^0,36 + 0,18 times raiz0,005832 = e^-0,46e^0,36 + 0,18 times 0,0763 :
e^-0,46 approx 0,6303; e^0,36 approx 1,4333; 0,18 times 0,0763 approx 0,0137
Calculando os valores:
f(0,18) approx 0,63031,4333 + 0,0137 = 0,63031,4470 approx 0,4358
Então:

Passo 6

Para f(0,24) = e^3 times 0,24 - 1e^2 times 0,24 + 0,24 times raiz(0,24)^3 = e^0,72 - 1e^0,48 + 0,24 times raiz0,013824 = e^-0,28e^0,48 + 0,24 times 0,1175 :
e^-0,28 approx 0,7564; e^0,48 approx 1,6173; 0,24 times 0,1175 approx 0,0282
Calculando os valores:
f(0,24) approx 0,75641,6173 + 0,0282 = 0,75641,6455 approx 0,4597
Então:

Passo 7

Finalmente, para f(0,30) = e^3 times 0,30 - 1e^2 times 0,30 + 0,30 times raiz(0,30)^3 = e^0,90 - 1e^0,60 + 0,30 times raiz0,027 = e^-0,10e^0,60 + 0,30 times 0,1643 :
e^-0,10 approx 0,9048; e^0,60 approx 1,8221; 0,30 times 0,1643 approx 0,0493
Calculando os valores:
f(0,30) approx 0,90481,8221 + 0,0493 = 0,90481,8714 approx 0,4832
Então:

Passo 8

Agora que temos todos os valores de |c|c|c|c|c|c| hline xi & 0,6 & 0,12 & 0,18 & 0,24 & 0,30 hline f(xi) & 0,6176 & 0,4125 & 0,4358 & 0,4597 & 0,4832 hline , vamos preencher a tabela:

Passo 9

Agora, vamos construir o polinômio interpolador de Newton de grau 3. A fórmula geral do polinômio de Newton é:
P3(x) = f(x0) + f[x0,x1](x - x0) + f[x0,x1,x2](x - x0)(x - x1) + f[x0,x1,x2,x3](x - x0)(x - x1)(x - x2)
Onde , , e são as diferenças divididas que calculamos a partir dos valores de .

Passo 10

Vamos calcular as diferenças divididas:
Primeiro, De:
De
De
De

Passo 11

Agora, calculamos as diferenças divididas de segunda ordem:
f[x0,x1,x2] = f[x1,x2] - f[x0,x1]x2 - x0 = 0,0233 - (-0,2051)0,18 - 0,6 = 0,2284-0,42 approx -0,5443
f[x1,x2,x3] = f[x2,x3] - f[x1,x2]x3 - x1 = 0,0239 - 0,02330,24 - 0,12 = 0,00060,12 = 0,005
f[x2,x3,x4] = f[x3,x4] - f[x2,x3]x4 - x2 = 0,0235 - 0,02390,30 - 0,18 = -0,00040,12 approx -0,0033

Passo 12

Em seguida, as diferenças divididas de terceira ordem:
f[x0,x1,x2,x3] = f[x1,x2,x3] - f[x0,x1,x2]x3 - x0 = 0,005 - (-0,5443)0,24 - 0,6 = 0,5493-0,36 approx -1,5258
f[x1,x2,x3,x4] = f[x2,x3,x4] - f[x1,x2,x3]x4 - x1 = -0,0033 - 0,0050,30 - 0,12 = -0,00830,18 approx -0,0461

Passo 13

Agora, substituímos esses valores na fórmula do polinômio de Newton:
P3(x) = f(x0) + f[x0,x1](x - x0) + f[x0,x1,x2](x - x0)(x - x1) + f[x0,x1,x2,x3](x - x0)(x - x1)(x - x2)
Substituindo:
P3(x) = 0,6176 + (-0,2051)(x - 0,6) + (-0,5443)(x - 0,6)(x - 0,12) + (-1,5258)(x - 0,6)(x - 0,12)(x - 0,18)

Resposta

O polinômio interpolador de Newton de grau 3 que aproxima a função P3(x) = 0,6176 - 0,2051(x - 0,6) - 0,5443(x - 0,6)(x - 0,12) - 1,5258(x - 0,6)(x - 0,12)(x - 0,18) no intervalo é:

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