Nos exercícios 01 a 21, determine o intervalo de convergência de cada uma das séries de potências.
02) sum0^infty x^n+1n+1

Passo 1

Beleza! A questão pede para encontrar o intervalo de convergência da série de potências sumn=0^infty x^n+1n+1. Vamos usar conceitos de séries de potências e aplicar o teste da razão para descobrir para quais valores de a série converge.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o termo geral da série. Observando a série dada, vemos que:
an = x^n+1n+1

Passo 3

Agora, vamos aplicar o teste da razão, que nos ajuda a determinar o comportamento da série. O teste da razão calcula o limite:
L = limn to infty | an+1an |
Se , a série converge; se , a série diverge; e se , o teste é inconclusivo.

Passo 4

Vamos calcular esse limite:
Simplificando:
L = limn to infty | x^(n+1)+1n+1+1x^n+1n+1 | = limn to infty | x^n+2n+2 cdot n+1x^n+1 | = limn to infty | x cdot n+1n+2 |

Passo 5

De acordo com o teste da razão, a série converge quando |x| < 1 Rightarrow -1 < x < 1 , ou seja:
Isso nos dá que deve estar entre -1 e 1 para a série convergir.

Passo 6

Agora, vamos verificar os extremos sumn=0^infty 1^n+1n+1 = sumn=0^infty 1n+1 e sumn=0^infty (-1)^n+1n+1 :
  • Para :
A série se torna:
Essa é a série harmônica, que diverge.
  • Para :
A série se torna:
Essa é uma série alternada onde os termos decrescem em módulo e tendem a zero. Pelo teste da série alternada, ela converge.

Resposta

Portanto, o intervalo de convergência da série é:
-1 <= x < 1

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