Nos exercícios 01 a 21, determine o intervalo de convergência de cada uma das séries de potências.
02)
Passo 1
Beleza! A questão pede para encontrar o intervalo de convergência da série de potências . Vamos usar conceitos de séries de potências e aplicar o teste da razão para descobrir para quais valores de a série converge.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o termo geral da série. Observando a série dada, vemos que:
Passo 3
Agora, vamos aplicar o teste da razão, que nos ajuda a determinar o comportamento da série. O teste da razão calcula o limite:
Se , a série converge; se , a série diverge; e se , o teste é inconclusivo.
Passo 4
Vamos calcular esse limite:
Simplificando:
L = limn to infty | x^(n+1)+1n+1+1x^n+1n+1 | = limn to infty | x^n+2n+2 cdot n+1x^n+1 | = limn to infty | x cdot n+1n+2 |
Passo 5
De acordo com o teste da razão, a série converge quando |x| < 1 Rightarrow -1 < x < 1 , ou seja:
Isso nos dá que deve estar entre -1 e 1 para a série convergir.
Passo 6
Agora, vamos verificar os extremos sumn=0^infty 1^n+1n+1 = sumn=0^infty 1n+1 e sumn=0^infty (-1)^n+1n+1 :
Para :
A série se torna:
Essa é a série harmônica, que diverge.
Para :
A série se torna:
Essa é uma série alternada onde os termos decrescem em módulo e tendem a zero. Pelo teste da série alternada, ela converge.