Nos exercícios 01 a 21, determine o intervalo de convergência de cada uma das séries de potências.
08) sum1^infty (x+1)^nn raizn+1

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para determinar o intervalo de convergência da série de potências sumn=1^infty (x+1)^nn raizn+1. Isso envolve o estudo de séries de potências, um tópico importante em cálculo que nos ajuda a entender para quais valores de x a série converge, ou seja, soma para um valor finito.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a forma geral da nossa série de potências: sumn=1^infty an (x - c)^n. No nosso caso, podemos reescrever a série como sumn=1^infty (x+1)^nn raizn+1, onde c = -1. Isso significa que a série está centrada em x = -1.

Passo 3

Para encontrar o intervalo de convergência, podemos usar o Teste da Razão. Esse teste nos ajuda a determinar para quais valores de x a série converge absolutamente. A ideia é analisar o limite do quociente entre termos consecutivos da série.

Passo 4

Vamos aplicar o Teste da Razão. Primeiro, identificamos o termo geral da nossa série:
an = (x+1)^nn raizn+1
Agora, calculamos o limite:

Passo 5

Simplificando a expressão dentro do limite:
L = limn to infty | (x+1) cdot nn+1 cdot raizn+1raizn+2 |
Podemos separar os limites:
L = |x+1| cdot limn to infty nn+1 cdot limn to infty raizn+1raizn+2

Passo 6

Calculando cada limite separadamente:
limn to infty nn+1 = 1
limn to infty raizn+1raizn+2 = limn to infty raizn+1n+2 = raiz1 = 1
Portanto, o limite L simplifica para:
L = |x+1| cdot 1 cdot 1 = |x+1|

Passo 7

Segundo o Teste da Razão, para a série convergir, o limite L deve ser menor que 1:
|x+1| < 1
Resolvendo essa inequação:
-1 < x + 1 < 1 -2 < x < 0
Isso nos dá o intervalo central de convergência.

Passo 8

Agora, precisamos verificar os pontos finais x = -2 e x = 0 para ver se a série converge nesses valores.
Para x = -2:
sumn=1^infty (-2+1)^nn raizn+1 = sumn=1^infty (-1)^nn raizn+1
Essa série é alternada e os termos tendem a zero, então, por serem decrescentes, a série converge por outro critério chamado Teste da Série Alternada.
Para x = 0:
sumn=1^infty (0+1)^nn raizn+1 = sumn=1^infty 1n raizn+1
Podemos comparar essa série com sumn=1^infty 1n^3/2, que é uma série convergente p com p = 3/2 > 1. Portanto, a série também converge para x = 0.

Resposta

O intervalo de convergência da série é -2 <= x <= 0.

Exercícios relacionados