Nos exercícios 01 a 21, determine o intervalo de convergência de cada uma das séries de potências.
08)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para determinar o intervalo de convergência da série de potências . Isso envolve o estudo de séries de potências, um tópico importante em cálculo que nos ajuda a entender para quais valores de a série converge, ou seja, soma para um valor finito.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a forma geral da nossa série de potências: . No nosso caso, podemos reescrever a série como , onde . Isso significa que a série está centrada em .
Passo 3
Para encontrar o intervalo de convergência, podemos usar o **Teste da Razão**. Esse teste nos ajuda a determinar para quais valores de a série converge absolutamente. A ideia é analisar o limite do quociente entre termos consecutivos da série.
Passo 4
Vamos aplicar o Teste da Razão. Primeiro, identificamos o termo geral da nossa série:
Agora, calculamos o limite:
Passo 5
Simplificando a expressão dentro do limite:
Podemos separar os limites:
Passo 6
Calculando cada limite separadamente:
Portanto, o limite simplifica para:
Passo 7
Segundo o Teste da Razão, para a série convergir, o limite deve ser menor que 1:
Resolvendo essa inequação:
Isso nos dá o intervalo central de convergência.
Passo 8
Agora, precisamos verificar os pontos finais e para ver se a série converge nesses valores.
**Para :**
Essa série é alternada e os termos tendem a zero, então, por serem decrescentes, a série converge por outro critério chamado **Teste da Série Alternada**.
**Para :**
Podemos comparar essa série com , que é uma série convergente p com . Portanto, a série também converge para .