Nos exercícios 01 a 21, determine o intervalo de convergência de cada uma das séries de potências. 08)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para determinar o intervalo de convergência da série de potências . Isso envolve o estudo de séries de potências, um tópico importante em cálculo que nos ajuda a entender para quais valores de a série converge, ou seja, soma para um valor finito.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a forma geral da nossa série de potências: . No nosso caso, podemos reescrever a série como , onde . Isso significa que a série está centrada em .

Passo 3

Para encontrar o intervalo de convergência, podemos usar o **Teste da Razão**. Esse teste nos ajuda a determinar para quais valores de a série converge absolutamente. A ideia é analisar o limite do quociente entre termos consecutivos da série.

Passo 4

Vamos aplicar o Teste da Razão. Primeiro, identificamos o termo geral da nossa série: Agora, calculamos o limite: Extra close brace or missing open brace L = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{(x+1)^{n+1}}{(n+1) \sqrt{n+2}} \cdot \frac{n \sqrt{n+1}}{(x+1)^{n}}} \right|

Passo 5

Simplificando a expressão dentro do limite: Podemos separar os limites:

Passo 6

Calculando cada limite separadamente: Portanto, o limite simplifica para:

Passo 7

Segundo o Teste da Razão, para a série convergir, o limite deve ser menor que 1: Resolvendo essa inequação: Isso nos dá o intervalo central de convergência.

Passo 8

Agora, precisamos verificar os pontos finais e para ver se a série converge nesses valores. **Para :** Essa série é alternada e os termos tendem a zero, então, por serem decrescentes, a série converge por outro critério chamado **Teste da Série Alternada**. **Para :** Podemos comparar essa série com , que é uma série convergente p com . Portanto, a série também converge para .

Resposta

O intervalo de convergência da série é .

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