Nos exercícios 01 a 21, determine o intervalo de convergência de cada uma das séries de potências.
08)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para determinar o intervalo de convergência da série de potências . Isso envolve o estudo de séries de potências, um tópico importante em cálculo que nos ajuda a entender para quais valores de a série converge, ou seja, soma para um valor finito.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a forma geral da nossa série de potências: . No nosso caso, podemos reescrever a série como , onde . Isso significa que a série está centrada em .
Passo 3
Para encontrar o intervalo de convergência, podemos usar o Teste da Razão. Esse teste nos ajuda a determinar para quais valores de a série converge absolutamente. A ideia é analisar o limite do quociente entre termos consecutivos da série.
Passo 4
Vamos aplicar o Teste da Razão. Primeiro, identificamos o termo geral da nossa série:
Agora, calculamos o limite:
Passo 5
Simplificando a expressão dentro do limite:
Podemos separar os limites:
L = |x+1| cdot limn to infty nn+1 cdot limn to infty raizn+1raizn+2
Passo 6
Calculando cada limite separadamente:
limn to infty nn+1 = 1
limn to infty raizn+1raizn+2 = limn to infty raizn+1n+2 = raiz1 = 1
Portanto, o limite L simplifica para:
L = |x+1| cdot 1 cdot 1 = |x+1|
Passo 7
Segundo o Teste da Razão, para a série convergir, o limite L deve ser menor que 1:
|x+1| < 1
Resolvendo essa inequação:
-1 < x + 1 < 1 -2 < x < 0
Isso nos dá o intervalo central de convergência.
Passo 8
Agora, precisamos verificar os pontos finais x = -2 e x = 0 para ver se a série converge nesses valores.