Nos exercícios 01 a 21, determine o intervalo de convergência de cada uma das séries de potências.
06) sum1^infty (-1)^n+1 x^2 n-1(2 n-1)!

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar o intervalo de convergência da série de potências dada por:
sumn=1^infty (-1)^n+1 x^2n-1(2n-1)!
Isso significa que queremos encontrar todos os valores de para os quais essa série soma não vai divergir para o infinito. Para isso, vamos usar o Teste da Razão, uma técnica bem útil da matéria de Séries de Potências.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teste da Razão. Esse teste nos ajuda a determinar o limite do quociente entre termos consecutivos da série. Se esse limite for menor que 1, a série converge; se for maior que 1, ela diverge; e se for igual a 1, o teste não dá resposta definitiva.
Então, vamos aplicar o Teste da Razão na nossa série.

Passo 3

Vamos considerar o termo geral da série como:
an = (-1)^n+1 x^2n-1(2n-1)!
Agora, vamos calcular o limite do valor absoluto do quociente entre L = limn to infty | an+1an | e L = limn to infty | (-1)^(n+1)+1 x^2(n+1)-1(2(n+1)-1)! cdot (2n-1)!(-1)^n+1 x^2n-1 | :
L = limn to infty | x^2n+1(2n+1)! cdot (2n-1)!x^2n-1 | = limn to infty | x^2(2n)(2n+1) |
Substituindo e :
Simplificando os sinais e as potências de :

Passo 4

Agora, vamos calcular esse limite:
L = limn to infty x^22n(2n+1) = limn to infty x^24n^2 + 2n
Quando L = 0 tende ao infinito, o denominador cresce sem limite, então:

Passo 5

Segundo o Teste da Razão, se , a série converge. No nosso caso, , que é obviamente menor que 1 para qualquer valor de . Isso significa que a série converge para todos os valores de .

Resposta

O intervalo de convergência é , ou seja, a série converge para todo número real .

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