Nos exercícios 01 a 21, determine o intervalo de convergência de cada uma das séries de potências.
09) sum1^infty (x+5)^n(2 n-1) 2 n

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar o intervalo de convergência da série de potências:
sumn=1^infty (x+5)^n(2n-1)2n
Para resolver isso, vamos usar o Teste da Razão, que nos ajuda a determinar para quais valores de a série converge.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o termo geral da série, que é:
an = (x+5)^n(2n-1)2n
O Teste da Razão funciona calculando o limite:
L = limn to infty | an+1an |
Se , a série converge. Se , a série diverge. E se , o teste é inconclusivo e precisamos verificar de outra forma.

Passo 3

Vamos calcular an+1an = (x+5)^n+1(2(n+1)-1)2(n+1) cdot (2n-1)2n(x+5)^n = |x+5| cdot (2n-1)2n(2n+1)(2n+2) :
an+1an = |x+5| cdot 4n^2 - 2n4n^2 + 6n + 2
Simplificando:

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite quando L = limn to infty |x+5| cdot 4n^2 - 2n4n^2 + 6n + 2 = |x+5| cdot 44 = |x+5| tende ao infinito:

Passo 5

Aplicando o Teste da Razão, para a série convergir, precisamos que:
L = |x+5| < 1
Isso significa que:
-1 < x + 5 < 1
Subtraindo 5 de todas as partes da desigualdade:
-6 < x < -4

Passo 6

Agora, precisamos verificar os extremos do intervalo, ou seja, sumn=1^infty (-1)^n(2n-1)2n e sumn=1^infty 1(2n-1)2n .
  • Para :
A série fica:
Essa é uma série alternada e satisfaz os critérios do Teste da Série Alternada, então converge.
  • Para :
A série fica:
Essa é uma série p com , que converge porque .

Resposta

O intervalo de convergência é .

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