Nos exercícios 01 a 21, determine o intervalo de convergência de cada uma das séries de potências.
09)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar o intervalo de convergência da série de potências:
Para resolver isso, vamos usar o Teste da Razão, que nos ajuda a determinar para quais valores de a série converge.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o termo geral da série, que é:
O Teste da Razão funciona calculando o limite:
Se , a série converge. Se , a série diverge. E se , o teste é inconclusivo e precisamos verificar de outra forma.

Passo 3

Vamos calcular :
Simplificando:

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite quando tende ao infinito:

Passo 5

Aplicando o Teste da Razão, para a série convergir, precisamos que:
Isso significa que:
Subtraindo 5 de todas as partes da desigualdade:

Passo 6

Agora, precisamos verificar os extremos do intervalo, ou seja, e .
  • Para :
A série fica:
Essa é uma série alternada e satisfaz os critérios do Teste da Série Alternada, então converge.
  • Para :
A série fica:
Essa é uma série p com , que converge porque .

Resposta

O intervalo de convergência é .

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e
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