Nos exercícios 01 a 21, determine o intervalo de convergência de cada uma das séries de potências.
09)
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Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar o intervalo de convergência da série de potências:
Para resolver isso, vamos usar o Teste da Razão, que nos ajuda a determinar para quais valores de
a série converge.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o termo geral da série, que é:
O Teste da Razão funciona calculando o limite:
Se
, a série converge. Se
, a série diverge. E se
, o teste é inconclusivo e precisamos verificar de outra forma.
Passo 3
Vamos calcular
an+1an = (x+5)^n+1(2(n+1)-1)2(n+1) cdot (2n-1)2n(x+5)^n = |x+5| cdot (2n-1)2n(2n+1)(2n+2) :
Simplificando:
Passo 4
Agora, vamos calcular o limite quando
L = limn to infty |x+5| cdot 4n^2 - 2n4n^2 + 6n + 2 = |x+5| cdot 44 = |x+5| tende ao infinito:
Passo 5
Aplicando o Teste da Razão, para a série convergir, precisamos que:
Isso significa que:
Subtraindo 5 de todas as partes da desigualdade:
Passo 6
Agora, precisamos verificar os extremos do intervalo, ou seja,
sumn=1^infty (-1)^n(2n-1)2n e
sumn=1^infty 1(2n-1)2n .
- Para
:
A série fica:
Essa é uma série alternada e satisfaz os critérios do Teste da Série Alternada, então converge.
- Para
:
A série fica:
Essa é uma série p com
, que converge porque
.
Resposta
O intervalo de convergência é
.