Nos exercícios 01 a 21, determine o intervalo de convergência de cada uma das séries de potências.
11) sum0^infty (-1)^n 2^n x^n(n+1)^3

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa determinar o intervalo de convergência da série de potências dada:
sumn=0^infty (-1)^n 2^n x^n(n+1)^3
Para resolver isso, vamos usar o Teste da Razão, que ajuda a encontrar para quais valores de a série converge.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar o Teste da Razão. Esse teste diz que se o limite:
L = limn to infty | an+1an |
for menor que 1, a série converge. Aqui, .

Passo 3

Vamos calcular an+1an = (-1)^n+1 2^n+1 x^n+1(n+2)^3 times (n+1)^3(-1)^n 2^n x^n = -2x ( n+1n+2 )^3 :
Como estamos interessados apenas no valor absoluto, o sinal negativo não importa:
| an+1an | = 2|x| ( n+1n+2 )^3

Passo 4

Agora, calculamos o limite quando L = limn to infty 2|x| ( n+1n+2 )^3 = 2|x| times ( limn to infty n+1n+2 )^3 = 2|x| times 1 = 2|x| tende ao infinito:

Passo 5

Para a s��rie convergir, precisamos que 2|x| < 1 implies |x| < 12 :
Isso significa que o intervalo de convergência está centrado em 0 e tem raio .

Passo 6

Agora, vamos verificar os extremos do intervalo, ou seja, sumn=0^infty (-1)^n 2^n (12)^n(n+1)^3 = sumn=0^infty (-1)^n(n+1)^3 e sumn=0^infty (-1)^n 2^n (-12)^n(n+1)^3 = sumn=0^infty 1(n+1)^3 , para ver se a série converge nesses pontos.
Para :
Essa é uma série alternada cuja termo geral tende a zero e é decrescente, então converge por ser absolutamente convergente.
Para :
Essa é uma série p com , então também converge.

Resposta

O intervalo de convergência da série é .

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