Nos exercícios 01 a 21, determine o intervalo de convergência de cada uma das séries de potências.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente determinar o intervalo de convergência da série de potências:
Isso significa que queremos descobrir para quais valores de essa série “funciona”, ou seja, onde ela soma para um número finito. Para resolver isso, vamos usar o Teste da Razão, uma ferramenta que nos ajuda a verificar se uma série converge ou não.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como funciona o Teste da Razão. Esse teste diz que, para uma série , a série converge se o limite:
for menor que 1, ou seja, se .
Passo 3
Vamos aplicar isso na nossa série. Aqui, o termo geral é:
Agora, vamos encontrar :
Passo 4
Agora, vamos calcular a razão :
Agora, pegamos o módulo dessa razão:
Passo 5
Vamos calcular o limite quando tende ao infinito:
Como , segundo o Teste da Razão, a série converge para todos os valores de .
Resposta
O intervalo de convergência é todos os números reais, ou seja, .