Nos exercícios 01 a 21, determine o intervalo de convergência de cada uma das séries de potências.
13) sum0^infty (x-1)^n(n+2)!

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente determinar o intervalo de convergência da série de potências:
sumn=0^infty (x-1)^n(n+2)!
Isso significa que queremos descobrir para quais valores de essa série “funciona”, ou seja, onde ela soma para um número finito. Para resolver isso, vamos usar o Teste da Razão, uma ferramenta que nos ajuda a verificar se uma série converge ou não.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona o Teste da Razão. Esse teste diz que, para uma série L = limn to infty | an+1an | , a série converge se o limite:
for menor que 1, ou seja, se .

Passo 3

Vamos aplicar isso na nossa série. Aqui, o termo geral an = (x - 1)^n(n + 2)! é:
an+1 = (x - 1)^n+1(n + 3)!
Agora, vamos encontrar :

Passo 4

Agora, vamos calcular a razão an+1an = (x - 1)^n+1(n + 3)! cdot (n + 2)!(x - 1)^n = (x - 1)n + 3 :
| an+1an | = | (x - 1)n + 3 |
Agora, pegamos o módulo dessa razão:

Passo 5

Vamos calcular o limite quando L = limn to infty | (x - 1)n + 3 | = 0 tende ao infinito:
Como , segundo o Teste da Razão, a série converge para todos os valores de .

Resposta

O intervalo de convergência é todos os números reais, ou seja, .

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