Nos exercícios 01 a 21, determine o intervalo de convergência de cada uma das séries de potências.
14) sum0^infty (1-x)^n(n+1) 3^n

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente recebeu uma série de potências e precisa descobrir para quais valores de sumn=0^infty (1 - x)^n(n + 1) 3^n essa série converge. O enunciado é:
Vamos usar o Teste da Razão para encontrar o intervalo de convergência. Esse teste nos ajuda a ver se a série converge ou diverge ao analisar o limite da razão entre termos consecutivos.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o termo geral da série:
an = (1 - x)^n(n + 1) 3^n
Agora, aplicamos o Teste da Razão. Calculamos o limite:
L = limn to infty | an+1an |
Substituindo L = limn to infty | (1 - x)^n+1(n + 2) 3^n+1 times (n + 1) 3^n(1 - x)^n | = limn to infty | (1 - x) cdot (n + 1)3(n + 2) | e L = | 1 - x3 | times limn to infty n + 1n + 2 = | 1 - x3 | times 1 = | 1 - x3 | :
| 1 - x3 | < 1
Simplificando:
|1 - x| < 3 Rightarrow -3 < 1 - x < 3
Para a série convergir pelo Teste da Razão, -4 < -x < 2 :
2 > x > -4 Rightarrow -2 < x < 4
Resolvendo a inequação:
Subtraindo 1 de todos os lados:
Multiplicando por -1 e invertendo as desigualdades:

Passo 3

Agora, vamos verificar os extremos do intervalo sumn=0^infty (1 - (-2))^n(n + 1) 3^n = sumn=0^infty 3^n(n + 1) 3^n = sumn=0^infty 1n + 1 e sumn=0^infty (1 - 4)^n(n + 1) 3^n = sumn=0^infty (-3)^n(n + 1) 3^n = sumn=0^infty (-1)^nn + 1 .
  • Para :
Essa é a série harmônica, que diverge.
  • Para :
Essa é uma série alternada que converge pelo Teste de Leibniz.

Resposta

O intervalo de convergência da série é .

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