Nos exercícios 01 a 21, determine o intervalo de convergência de cada uma das séries de potências.
14)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente recebeu uma série de potências e precisa descobrir para quais valores de essa série converge. O enunciado é:
Vamos usar o Teste da Razão para encontrar o intervalo de convergência. Esse teste nos ajuda a ver se a série converge ou diverge ao analisar o limite da razão entre termos consecutivos.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o termo geral da série:
Agora, aplicamos o Teste da Razão. Calculamos o limite:
Substituindo e :
Simplificando:
Para a série convergir pelo Teste da Razão, :
Resolvendo a inequação:
Subtraindo 1 de todos os lados:
Multiplicando por -1 e invertendo as desigualdades:
Passo 3
Agora, vamos verificar os extremos do intervalo e .
Para :
Essa é a série harmônica, que diverge.
Para :
Essa é uma série alternada que converge pelo Teste de Leibniz.