Nos exercícios 01 a 21, determine o intervalo de convergência de cada uma das séries de potências.
14)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente recebeu uma série de potências e precisa descobrir para quais valores de essa série converge. O enunciado é:
Vamos usar o Teste da Razão para encontrar o intervalo de convergência. Esse teste nos ajuda a ver se a série converge ou diverge ao analisar o limite da razão entre termos consecutivos.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o termo geral da série:
Agora, aplicamos o Teste da Razão. Calculamos o limite:
Substituindo e :
Simplificando:
Para a série convergir pelo Teste da Razão, :
Resolvendo a inequação:
Subtraindo 1 de todos os lados:
Multiplicando por -1 e invertendo as desigualdades:

Passo 3

Agora, vamos verificar os extremos do intervalo e .
  • Para :
Essa é a série harmônica, que diverge.
  • Para :
Essa é uma série alternada que converge pelo Teste de Leibniz.

Resposta

O intervalo de convergência da série é .

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Calcule , pela definição, sendo dados
e
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Transforme a equação para coordenadas esféricas: