Nos exercícios 01 a 21, determine o intervalo de convergência de cada uma das séries de potências.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente recebeu uma série de potências e precisa descobrir para quais valores de essa série converge. O enunciado é:
Vamos usar o Teste da Razão para encontrar o intervalo de convergência. Esse teste nos ajuda a ver se a série converge ou diverge ao analisar o limite da razão entre termos consecutivos.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o termo geral da série:
Agora, aplicamos o Teste da Razão. Calculamos o limite:
Substituindo L = limn to infty | (1 - x)^n+1(n + 2) 3^n+1 times (n + 1) 3^n(1 - x)^n | = limn to infty | (1 - x) cdot (n + 1)3(n + 2) | e L = | 1 - x3 | times limn to infty n + 1n + 2 = | 1 - x3 | times 1 = | 1 - x3 | :
| 1 - x3 | < 1
Simplificando:
|1 - x| < 3 Rightarrow -3 < 1 - x < 3
Para a série convergir pelo Teste da Razão, -4 < -x < 2 :
2 > x > -4 Rightarrow -2 < x < 4
Resolvendo a inequação:
Subtraindo 1 de todos os lados:
Multiplicando por -1 e invertendo as desigualdades: