Nos exercícios 01 a 21, determine o intervalo de convergência de cada uma das séries de potências.
16)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar o intervalo de convergência da série de potências que é a soma infinita de . Isso significa que queremos saber para quais valores de essa série dá um resultado finito.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que estamos lidando com uma série do tipo , onde . Para descobrir o intervalo de convergência, vamos usar o Teste da Razão (ou Teste de D’Alembert).

Passo 3

O Teste da Razão nos ajuda a saber se a série converge ou diverge ao analisar o limite da razão entre termos consecutivos:
Se esse limite for menor que 1, a série converge; se for maior que 1, diverge; e se for igual a 1, o teste não conclui.

Passo 4

Vamos aplicar isso na nossa série:

Passo 5

Agora, tirando o valor absoluto e calculando o limite quando vai para o infinito:

Passo 6

Para a série convergir, esse limite precisa ser menor que 1:

Passo 7

Vamos resolver essa desigualdade:
Somando 1 em todos os lados:
Multiplicando tudo por 4:
Então, inicialmente, o intervalo de convergência é .

Passo 8

Agora, precisamos verificar os extremos desse intervalo para ver se a série converge ou diverge nesses pontos.
  • Para :
Essa é a série harmônica alternada, que converge condicionalmente.
  • Para :
Essa é a série harmônica, que diverge.

Resposta

O intervalo de convergência da série é .

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