Nos exercícios 01 a 21, determine o intervalo de convergência de cada uma das séries de potências.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar o intervalo de convergência da série de potências que é a soma infinita de . Isso significa que queremos saber para quais valores de essa série dá um resultado finito.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que estamos lidando com uma série do tipo , onde . Para descobrir o intervalo de convergência, vamos usar o Teste da Razão (ou Teste de D’Alembert).
Passo 3
O Teste da Razão nos ajuda a saber se a série converge ou diverge ao analisar o limite da razão entre termos consecutivos:
Se esse limite for menor que 1, a série converge; se for maior que 1, diverge; e se for igual a 1, o teste não conclui.
Passo 4
Vamos aplicar isso na nossa série:
an+1an = 1n+1(x4-1)^n+11n(x4-1)^n = nn+1 (x4-1)
Passo 5
Agora, tirando o valor absoluto e calculando o limite quando limn to infty | nn+1 (x4-1) | = | x4-1 | vai para o infinito:
Passo 6
Para a série convergir, esse limite precisa ser menor que 1:
| x4-1 | < 1
Passo 7
Vamos resolver essa desigualdade:
-1 < x4 - 1 < 1
Somando 1 em todos os lados:
0 < x4 < 2
Multiplicando tudo por 4:
0 < x < 8
Então, inicialmente, o intervalo de convergência é .
Passo 8
Agora, precisamos verificar os extremos desse intervalo para ver se a série converge ou diverge nesses pontos.
Para sumn=1^infty 1n(04-1)^n = sumn=1^infty (-1)^nn :