Nos exercícios 01 a 21, determine o intervalo de convergência de cada uma das séries de potências.
20)

Passo 1

Vamos resolver o exercício que nos pede para determinar o intervalo de convergência da série de potências:
Aqui, estamos lidando com uma série de potências, onde queremos descobrir para quais valores de a série converge.

Passo 2

Para encontrar o intervalo de convergência, vamos usar o Teste da Razão (ou Teste de D’Alembert). Esse teste nos ajuda a determinar a convergência de séries infinitas analisando o limite do termo geral da série.

Passo 3

Primeiro, vamos identificar o termo geral da nossa série:

Passo 4

Aplicando o Teste da Razão, calculamos o limite:
Se , a série converge; se , a série diverge; e se , o teste é inconclusivo.

Passo 5

Vamos calcular :
Simplificando a expressão:

Passo 6

Vamos simplificar a fração envolvendo as potências de 5:
Fatorando no numerador e denominador:
À medida que tende ao infinito, tende a 0. Portanto:

Passo 7

Agora, substituímos no limite :
Para que a série convirja, precisamos que :

Passo 8

Vamos resolver a desigualdade:
Tirando a raiz cúbica de ambos os lados:

Passo 9

Removendo o valor absoluto, obtemos:
Subtraindo 1 de todos os lados:

Resposta

O intervalo de convergência da série é:

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14)
Calcule , pela definição, sendo dados
e
Transforme a equação para coordenadas esféricas:
Transforme a equação para coordenadas esféricas: