Nos exercícios 01 a 21, determine o intervalo de convergência de cada uma das séries de potências.
20) sum1^infty(5^n+5^-n)(x+1)^3 n-2

Passo 1

Vamos resolver o exercício que nos pede para determinar o intervalo de convergência da série de potências:
sumn=1^infty(5^n + 5^-n)(x+1)^3n-2
Aqui, estamos lidando com uma série de potências, onde queremos descobrir para quais valores de a série converge.

Passo 2

Para encontrar o intervalo de convergência, vamos usar o Teste da Razão (ou Teste de D’Alembert). Esse teste nos ajuda a determinar a convergência de séries infinitas analisando o limite do termo geral da série.

Passo 3

Primeiro, vamos identificar o termo geral da nossa série:
an = (5^n + 5^-n)(x+1)^3n-2

Passo 4

Aplicando o Teste da Razão, calculamos o limite:
L = limn to infty | an+1an |
Se , a série converge; se , a série diverge; e se , o teste é inconclusivo.

Passo 5

Vamos calcular an+1an = 5^n+1 + 5^-(n+1)5^n + 5^-n cdot (x+1)^3(n+1)-2(x+1)^3n-2 :
an+1an = 5^n+1 + 5^-(n+1)5^n + 5^-n cdot (x+1)^3
Simplificando a expressão:

Passo 6

Vamos simplificar a fração envolvendo as potências de 5:
5^n+1 + 5^-(n+1)5^n + 5^-n = 5 cdot 5^n + 15 cdot 5^-n5^n + 5^-n = 5 cdot 5^n + 15 cdot 5^-n5^n + 5^-n
Fatorando 5 cdot 5^n + 15 cdot 5^-n5^n + 5^-n = 5 cdot 5^n (1 + 125 cdot 5^-2n)5^n (1 + 5^-2n) = 5 cdot 1 + 125 cdot 5^-2n1 + 5^-2n no numerador e denominador:
limn to infty 5 cdot (1 + 125 cdot 5^-2n)1 + 5^-2n = 5 cdot 1 + 01 + 0 = 5
À medida que tende ao infinito, tende a 0. Portanto:

Passo 7

Agora, substituímos no limite L = limn to infty | an+1an | = |5 cdot (x+1)^3| = 5 |x+1|^3 :
5 |x+1|^3 < 1
Para que a série convirja, precisamos que :

Passo 8

Vamos resolver a desigualdade:
|x+1|^3 < 15
Tirando a raiz cúbica de ambos os lados:
|x+1| < (15)^1/3 = 1raiz[3]5

Passo 9

Removendo o valor absoluto, obtemos:
-1raiz[3]5 < x + 1 < 1raiz[3]5
Subtraindo 1 de todos os lados:
-1 - 1raiz[3]5 < x < -1 + 1raiz[3]5

Resposta

O intervalo de convergência da série é:
( -1 - 1raiz[3]5, -1 + 1raiz[3]5 )

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