Nos exercícios 01 a 21, determine o intervalo de convergência de cada uma das séries de potências.
20)
Passo 1
Vamos resolver o exercício que nos pede para determinar o intervalo de convergência da série de potências:
Aqui, estamos lidando com uma série de potências, onde queremos descobrir para quais valores de a série converge.
Passo 2
Para encontrar o intervalo de convergência, vamos usar o Teste da Razão (ou Teste de D’Alembert). Esse teste nos ajuda a determinar a convergência de séries infinitas analisando o limite do termo geral da série.
Passo 3
Primeiro, vamos identificar o termo geral da nossa série:
Passo 4
Aplicando o Teste da Razão, calculamos o limite:
Se , a série converge; se , a série diverge; e se , o teste é inconclusivo.
Passo 5
Vamos calcular :
Simplificando a expressão:
Passo 6
Vamos simplificar a fração envolvendo as potências de 5:
Fatorando no numerador e denominador:
À medida que tende ao infinito, tende a 0. Portanto: