Nos itens a seguir, determine se a afirmação é verdadeira ou falsa, justificando sua resposta.
Se
e
forem ortogonais, então
.
Se
Passo 1
Então, a gente tem uma afirmação que diz: “Se os vetores
e
forem ortogonais, então
.” Vamos resolver isso passo a passo. Primeiro, vamos entender o que significa os vetores serem ortogonais e o que são o produto interno (
) e a norma dos vetores (
e
).
Passo 2
Vetores Ortogonais: Dois vetores são ortogonais se o produto interno deles for zero. Ou seja,
. Isso basicamente significa que eles são “perpendiculares” entre si.
Passo 3
Produto Interno (
): É uma operação que retorna um número (escalar) que mede a “semelhança” entre dois vetores. Se for zero, como vimos, os vetores são ortogonais.
Passo 4
Norma dos Vetores (
e
): A norma de um vetor é essencialmente o seu tamanho ou comprimento. É sempre um número não negativo.
Passo 5
Agora, vamos analisar a afirmação: se
e
são ortogonais, então
.
Sabemos que se eles são ortogonais, então
. Portanto,
.
Por outro lado,
e
são números não negativos. A menos que um dos vetores seja o vetor nulo (ou seja,
ou
), o produto
será maior que zero.
Passo 6
Então, a menos que pelo menos um dos vetores seja o vetor nulo, temos que
. Isso mostra que a igualdade
não é verdadeira quando
e
são ortogonais e não nulos.
Resposta
A afirmação é falsa. Se
e
forem ortogonais, então
, o que é diferente de
a menos que um dos vetores seja nulo.
Exercícios relacionados
Nos exercícios
, determine o polinômio característico de cada operador linear, encontre seus autovalores e autovetores e dê uma base e a dimensão de cada autoespaço correspondente.
.
Nos itens a seguir, determine se a afirmação é verdadeira ou falsa, justificando sua resposta.
Se for um vetor em ambos
e
, então
.
Se
Nos itens a seguir, determine se a afirmação é verdadeira ou falsa, justificando sua resposta.
Se for um vetor em
e
um número real, então
é um vetor em
.
Se
Seja
um subconjunto de um espaço vetorial
dotado de produto interno (usual).
(a) Verifique se o conjunto é L.I.
(a) Verifique se o conjunto