Nos itens a seguir, determine se a afirmação é verdadeira ou falsa, justificando sua resposta.
Se e forem ortogonais, então .

Passo 1

Então, a gente tem uma afirmação que diz: “Se os vetores e forem ortogonais, então .” Vamos resolver isso passo a passo. Primeiro, vamos entender o que significa os vetores serem ortogonais e o que são o produto interno ( ) e a norma dos vetores ( e ).

Passo 2

Vetores Ortogonais: Dois vetores são ortogonais se o produto interno deles for zero. Ou seja, . Isso basicamente significa que eles são “perpendiculares” entre si.

Passo 3

Produto Interno ( ): É uma operação que retorna um número (escalar) que mede a “semelhança” entre dois vetores. Se for zero, como vimos, os vetores são ortogonais.

Passo 4

Norma dos Vetores ( e ): A norma de um vetor é essencialmente o seu tamanho ou comprimento. É sempre um número não negativo.

Passo 5

Agora, vamos analisar a afirmação: se e são ortogonais, então .
Sabemos que se eles são ortogonais, então . Portanto, .
Por outro lado, e são números não negativos. A menos que um dos vetores seja o vetor nulo (ou seja, ou ), o produto será maior que zero.

Passo 6

Então, a menos que pelo menos um dos vetores seja o vetor nulo, temos que . Isso mostra que a igualdade não é verdadeira quando e são ortogonais e não nulos.

Resposta

A afirmação é falsa. Se e forem ortogonais, então , o que é diferente de a menos que um dos vetores seja nulo.

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Nos exercícios , determine o polinômio característico de cada operador linear, encontre seus autovalores e autovetores e dê uma base e a dimensão de cada autoespaço correspondente. .
Nos itens a seguir, determine se a afirmação é verdadeira ou falsa, justificando sua resposta.
Se for um vetor em ambos e , então .
Nos itens a seguir, determine se a afirmação é verdadeira ou falsa, justificando sua resposta.
Se for um vetor em e um número real, então é um vetor em .
Seja um subconjunto de um espaço vetorial dotado de produto interno (usual).
(a) Verifique se o conjunto é L.I.