Nos itens a seguir, determine se a afirmação é verdadeira ou falsa, justificando sua resposta.
Se u for um vetor em W^perp e a um número real, então a u é um vetor em W^perp.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma afirmação: “Se u for um vetor em W^perp e a um número real, então a u é um vetor em W^perp.” Isso está relacionado ao conceito de espaço ortogonal complement e multiplicação escalar. Vamos precisar entender o que significa um vetor estar em W^perp e como a multiplicação por um número real afeta isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é W^perp. Esse é o complemento ortogonal de um subespaço W. Basicamente, W^perp contém todos os vetores que são perpendiculares a cada vetor de W. Matemáticamente, isso significa que para todo vetor w in W, o produto interno w cdot u = 0 se u in W^perp.

Passo 3

Agora, vamos ver o que acontece quando multiplicamos u por um número real a. Queremos mostrar que au também está em W^perp. Vamos calcular o produto interno de qualquer vetor w in W com au:
w cdot (au) = a (w cdot u)
Como u in W^perp, sabemos que w cdot u = 0. Então:
a (w cdot u) = a cdot 0 = 0

Passo 4

Como mostramos que para todo w in W, o produto interno w cdot (au) = 0, isso significa que au também é perpendicular a todos os vetores de W. Portanto, au in W^perp.

Resposta

A afirmação é verdadeira. Se u in W^perp e a é um número real, então a u também pertence a W^perp.

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