Nos itens a seguir, determine se a afirmação é verdadeira ou falsa, justificando sua resposta.
Se for um vetor em e um número real, então é um vetor em .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma afirmação: “Se for um vetor em e um número real, então é um vetor em .” Isso está relacionado ao conceito de espaço ortogonal complement e multiplicação escalar. Vamos precisar entender o que significa um vetor estar em e como a multiplicação por um número real afeta isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é . Esse é o complemento ortogonal de um subespaço . Basicamente, contém todos os vetores que são perpendiculares a cada vetor de . Matemáticamente, isso significa que para todo vetor , o produto interno se .

Passo 3

Agora, vamos ver o que acontece quando multiplicamos por um número real . Queremos mostrar que também está em . Vamos calcular o produto interno de qualquer vetor com :
Como , sabemos que . Então:

Passo 4

Como mostramos que para todo , o produto interno , isso significa que também é perpendicular a todos os vetores de . Portanto, .

Resposta

A afirmação é verdadeira. Se e é um número real, então também pertence a .

Exercícios relacionados

Nos itens a seguir, determine se a afirmação é verdadeira ou falsa, justificando sua resposta.
Se e forem ortogonais, então .
Nos exercícios , determine o polinômio característico de cada operador linear, encontre seus autovalores e autovetores e dê uma base e a dimensão de cada autoespaço correspondente. .
Seja um subconjunto de um espaço vetorial dotado de produto interno (usual).
(a) Verifique se o conjunto é L.I.
Nos exercícios , determine o polinômio característico de cada operador linear, encontre seus autovalores e autovetores e dê uma base e a dimensão de cada autoespaço correspondente. .