Nos itens a seguir, determine se a afirmação é verdadeira ou falsa, justificando sua resposta.
Se
for um vetor em
e
um número real, então
é um vetor em
.
Se
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma afirmação: “Se
for um vetor em
e
um número real, então
é um vetor em
.” Isso está relacionado ao conceito de espaço ortogonal complement e multiplicação escalar. Vamos precisar entender o que significa um vetor estar em
e como a multiplicação por um número real afeta isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é
. Esse é o complemento ortogonal de um subespaço
. Basicamente,
contém todos os vetores que são perpendiculares a cada vetor de
. Matemáticamente, isso significa que para todo vetor
, o produto interno
se
.
Passo 3
Agora, vamos ver o que acontece quando multiplicamos
por um número real
. Queremos mostrar que
também está em
. Vamos calcular o produto interno de qualquer vetor
com
:
Como
, sabemos que
. Então:
Passo 4
Como mostramos que para todo
, o produto interno
, isso significa que
também é perpendicular a todos os vetores de
. Portanto,
.
Resposta
A afirmação é verdadeira. Se
e
é um número real, então
também pertence a
.
Exercícios relacionados
Nos itens a seguir, determine se a afirmação é verdadeira ou falsa, justificando sua resposta.
Se e
forem ortogonais, então
.
Se
Nos exercícios
, determine o polinômio característico de cada operador linear, encontre seus autovalores e autovetores e dê uma base e a dimensão de cada autoespaço correspondente.
.
Seja
um subconjunto de um espaço vetorial
dotado de produto interno (usual).
(a) Verifique se o conjunto é L.I.
(a) Verifique se o conjunto
Nos exercícios
, determine o polinômio característico de cada operador linear, encontre seus autovalores e autovetores e dê uma base e a dimensão de cada autoespaço correspondente.
.