Nos exercícios
, determine o polinômio característico de cada operador linear, encontre seus autovalores e autovetores e dê uma base e a dimensão de cada autoespaço correspondente.
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente tem aqui é um operador linear
definido por
. O que precisamos fazer é:
- Encontrar o polinômio característico desse operador.
- Descobrir os autovalores e autovetores.
- Dar uma base e a dimensão de cada autoespaço correspondente.
Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como matrizes, determinantes e a definição de autovalores e autovetores.
Passo 2
Primeiro, vamos representar o operador linear
como uma matriz. Como
atua em
, podemos escrever a matriz associada a
da seguinte forma:
Aqui, cada coluna representa a imagem dos vetores da base canônica sob
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o polinômio característico dessa matriz. O polinômio característico
é dado por:
Onde
é a matriz identidade. Vamos calcular:
Então, o determinante é:
Então, o polinômio característico é:
Passo 4
Para encontrar os autovalores, resolvemos a equação
:
Então, os autovalores são
e
.
Passo 5
Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor. Para um autovalor
, o autovetor
satisfaz
.
Primeiro, para
:
Resolvendo
:
Vamos considerar
:
Da primeira equação:
.
Então, o autovetor pode ser escrito como:
De forma semelhante, para
:
Resolvendo
:
Da primeira equação:
.
Então, o autovetor é:
Passo 6
Agora, vamos falar sobre os autoespaços. Cada autovalor tem um autoespaço associado, que é o conjunto de todos os autovetores correspondentes a ele, junto com o vetor nulo.
Para
:
O autoespaço é gerado pelo vetor
:
A dimensão desse autoespaço é 1, porque temos uma única direção (vetor independente).
Para
:
O autoespaço é gerado pelo vetor
:
Também aqui, a dimensão é 1.
Resposta
O polinômio característico de
é
. Os autovalores são
e
. Os autovetores correspondentes são
e
. Cada autoespaço é de dimensão 1, com bases
e
para
e
, respectivamente.
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Seja
um subconjunto de um espaço vetorial
dotado de produto interno (usual).
(a) Verifique se o conjunto é L.I.
(a) Verifique se o conjunto
Nos itens a seguir, determine se a afirmação é verdadeira ou falsa, justificando sua resposta.
Se for um vetor em
e
um número real, então
é um vetor em
.
Se
Nos itens a seguir, determine se a afirmação é verdadeira ou falsa, justificando sua resposta.
Se e
forem ortogonais, então
.
Se
Mostre que:
(b)
(b)