Nos exercícios 01 1 4, determine o polinômio característico de cada operador linear, encontre seus autovalores e autovetores e dê uma base e a dimensão de cada autoespaço correspondente. T: R^2 R^2, T(x)=(-y, x).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente tem aqui é um operador linear definido por . O que precisamos fazer é:
  1. Encontrar o polinômio característico desse operador.
  2. Descobrir os autovalores e autovetores.
  3. Dar uma base e a dimensão de cada autoespaço correspondente.
Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como matrizes, determinantes e a definição de autovalores e autovetores.

Passo 2

Primeiro, vamos representar o operador linear A = 0 & -1 1 & 0 como uma matriz. Como atua em , podemos escrever a matriz associada a da seguinte forma:
Aqui, cada coluna representa a imagem dos vetores da base canônica sob .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o polinômio característico dessa matriz. O polinômio característico p(lambda) = det(A - lambda I) é dado por:
A - lambda I = 0 - lambda & -1 1 & 0 - lambda = -lambda & -1 1 & -lambda
Onde det(A - lambda I) = (-lambda)(-lambda) - (-1)(1) = lambda^2 + 1 é a matriz identidade. Vamos calcular:
p(lambda) = lambda^2 + 1
Então, o determinante é:
Então, o polinômio característico é:

Passo 4

Para encontrar os autovalores, resolvemos a equação lambda^2 + 1 = 0 implies lambda^2 = -1 implies lambda = pm i :
Então, os autovalores são e .

Passo 5

Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor. Para um autovalor A - i I = -i & -1 1 & -i , o autovetor x y satisfaz -ix - y = 0 x - iy = 0 .
Primeiro, para v1 = 1 -i :
A + i I = i & -1 1 & i
Resolvendo ix - y = 0 x + iy = 0 :
Vamos considerar v2 = 1 i :
Da primeira equação: .
Então, o autovetor pode ser escrito como:
De forma semelhante, para :
Resolvendo :
Da primeira equação: .
Então, o autovetor é:

Passo 6

Agora, vamos falar sobre os autoespaços. Cada autovalor tem um autoespaço associado, que é o conjunto de todos os autovetores correspondentes a ele, junto com o vetor nulo.
Para Ei = span 1 -i :
O autoespaço é gerado pelo vetor E-i = span 1 i :
A dimensão desse autoespaço é 1, porque temos uma única direção (vetor independente).
Para :
O autoespaço é gerado pelo vetor :
Também aqui, a dimensão é 1.

Resposta

O polinômio característico de 1 -i é 1 i . Os autovalores são 1 -i e 1 i . Os autovetores correspondentes são e . Cada autoespaço é de dimensão 1, com bases e para e , respectivamente.

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