Nos exercícios , determine o polinômio característico de cada operador linear, encontre seus autovalores e autovetores e dê uma base e a dimensão de cada autoespaço correspondente. .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente tem aqui é um operador linear definido por . O que precisamos fazer é:
  1. Encontrar o polinômio característico desse operador.
  2. Descobrir os autovalores e autovetores.
  3. Dar uma base e a dimensão de cada autoespaço correspondente.
Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como matrizes, determinantes e a definição de autovalores e autovetores.

Passo 2

Primeiro, vamos representar o operador linear como uma matriz. Como atua em , podemos escrever a matriz associada a da seguinte forma:
Aqui, cada coluna representa a imagem dos vetores da base canônica sob .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o polinômio característico dessa matriz. O polinômio característico é dado por:
Onde é a matriz identidade. Vamos calcular:
Então, o determinante é:
Então, o polinômio característico é:

Passo 4

Para encontrar os autovalores, resolvemos a equação :
Então, os autovalores são e .

Passo 5

Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor. Para um autovalor , o autovetor satisfaz .
Primeiro, para :
Resolvendo :
Vamos considerar :
Da primeira equação: .
Então, o autovetor pode ser escrito como:
De forma semelhante, para :
Resolvendo :
Da primeira equação: .
Então, o autovetor é:

Passo 6

Agora, vamos falar sobre os autoespaços. Cada autovalor tem um autoespaço associado, que é o conjunto de todos os autovetores correspondentes a ele, junto com o vetor nulo.
Para :
O autoespaço é gerado pelo vetor :
A dimensão desse autoespaço é 1, porque temos uma única direção (vetor independente).
Para :
O autoespaço é gerado pelo vetor :
Também aqui, a dimensão é 1.

Resposta

O polinômio característico de é . Os autovalores são e . Os autovetores correspondentes são e . Cada autoespaço é de dimensão 1, com bases e para e , respectivamente.

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