Seja um subconjunto de um espaço vetorial dotado de produto interno (usual).
(a) Verifique se o conjunto é L.I.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um conjunto dentro de um espaço vetorial que tem um produto interno padrão. A pergunta é: esse conjunto é linearmente independente? Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa um conjunto de vetores ser linearmente independente e como podemos verificar isso.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é independência linear. Um conjunto de vetores é linearmente independente se a única combinação linear que dá o vetor zero é aquela em que todos os coeficientes são zero. Em outras palavras, se temos vetores , eles são linearmente independentes se, quando resolvermos a equação:
A única solução possível é .

Passo 3

Aplicando isso ao nosso conjunto , vamos chamar os vetores de e . Queremos saber se existe uma combinação desses vetores que resulte no vetor zero , exceto a combinação trivial onde os coeficientes são zero.
Então, montamos a equação:
Isso nos dá um sistema de equações:

Passo 4

Vamos resolver esse sistema de equações para encontrar os valores de e .
Da primeira equação:
Substituindo na segunda equação:
Agora que sabemos que , substituímos de volta para encontrar :

Resposta

Como a única solução para e é e , concluímos que o conjunto é linearmente independente.

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