Seja
um subconjunto de um espaço vetorial
dotado de produto interno (usual).
(a) Verifique se o conjunto
é L.I.
(a) Verifique se o conjunto
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um conjunto
dentro de um espaço vetorial
que tem um produto interno padrão. A pergunta é: esse conjunto
é linearmente independente? Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa um conjunto de vetores ser linearmente independente e como podemos verificar isso.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é independência linear. Um conjunto de vetores é linearmente independente se a única combinação linear que dá o vetor zero é aquela em que todos os coeficientes são zero. Em outras palavras, se temos vetores
, eles são linearmente independentes se, quando resolvermos a equação:
A única solução possível é
.
Passo 3
Aplicando isso ao nosso conjunto
, vamos chamar os vetores de
e
. Queremos saber se existe uma combinação desses vetores que resulte no vetor zero
, exceto a combinação trivial onde os coeficientes são zero.
Então, montamos a equação:
Isso nos dá um sistema de equações:
Passo 4
Vamos resolver esse sistema de equações para encontrar os valores de
e
.
Da primeira equação:
Substituindo
na segunda equação:
Agora que sabemos que
, substituímos de volta para encontrar
:
Resposta
Como a única solução para
e
é
e
, concluímos que o conjunto
é linearmente independente.