Seja W=(1,2),(3,1) um subconjunto de um espaço vetorial V dotado de produto interno (usual).
(a) Verifique se o conjunto W é L.I.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um conjunto W = (1,2), (3,1) dentro de um espaço vetorial V que tem um produto interno padrão. A pergunta é: esse conjunto W é linearmente independente? Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa um conjunto de vetores ser linearmente independente e como podemos verificar isso.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é independência linear. Um conjunto de vetores é linearmente independente se a única combinação linear que dá o vetor zero é aquela em que todos os coeficientes são zero. Em outras palavras, se temos vetores v1, v2, dots, vn, eles são linearmente independentes se, quando resolvermos a equação:
c1 v1 + c2 v2 + dots + cn vn = 0
A única solução possível é c1 = c2 = dots = cn = 0.

Passo 3

Aplicando isso ao nosso conjunto W = (1,2), (3,1), vamos chamar os vetores de v1 = (1,2) e v2 = (3,1). Queremos saber se existe uma combinação desses vetores que resulte no vetor zero (0,0), exceto a combinação trivial onde os coeficientes são zero.
Então, montamos a equação:
c1 (1,2) + c2 (3,1) = (0,0)
Isso nos dá um sistema de equações:
c1 cdot 1 + c2 cdot 3 = 0 c1 cdot 2 + c2 cdot 1 = 0

Passo 4

Vamos resolver esse sistema de equações para encontrar os valores de c1 e c2.
Da primeira equação:
c1 + 3c2 = 0 Rightarrow c1 = -3c2
Substituindo c1 na segunda equação:
2(-3c2) + c2 = 0 -6c2 + c2 = 0 -5c2 = 0 c2 = 0
Agora que sabemos que c2 = 0, substituímos de volta para encontrar c1:
c1 = -3(0) = 0

Resposta

Como a única solução para c1 e c2 é c1 = 0 e c2 = 0, concluímos que o conjunto W = (1,2), (3,1) é linearmente independente.

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