Nos exercícios , determine o polinômio característico de cada operador linear, encontre seus autovalores e autovetores e dê uma base e a dimensão de cada autoespaço correspondente. .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para determinar o polinômio característico de um operador linear , encontrar seus autovalores e autovetores, e dar uma base e a dimensão de cada autoespaço correspondente. O operador está definido como , onde . A matéria envolvida aqui é Álgebra Linear, especificamente operadores lineares, polinômios característicos, autovalores e autovetores. Vamos precisar entender como representar o operador em uma base adequada para facilitar os cálculos.
Passo 2
Primeiro, vamos escolher uma base para o espaço . Uma base comum é . Agora, precisamos representar o operador nessa base. Isso significa que vamos aplicar a cada elemento da base e expressar o resultado como uma combinação linear dos vetores da base.
Passo 3
Aplicando aos vetores da base:
Agora, expressamos cada resultado como uma combinação linear da base :
Passo 4
Com essas combinações, podemos construir a matriz de representação de na base escolhida:
Passo 5
Agora, vamos encontrar o polinômio característico de A - lambda I = 1-lambda & 1 & 1 & 1 0 & 1-lambda & 2 & 3 0 & 0 & 1-lambda & 3 0 & 0 & 0 & 1-lambda . O polinômio característico é dado por , onde é a matriz identidade e é um escalar.
Calculando :
Passo 6
Como det(A - lambda I) = (1-lambda)^4 é uma matriz triangular superior, o determinante é o produto dos elementos da diagonal principal:
Então, o polinômio característico é .
Passo 7
Para encontrar os autovalores, resolvemos (1 - lambda)^4 = 0 implies lambda = 1 :
Portanto, o único autovalor é , com multiplicidade 4.
Portanto, é livre. Então, os autovetores são da forma .
Passo 9
A base do autoespaço correspondente a 1 0 0 0 é e a dimensão desse autoespaço é 1.
Resposta
O polinômio característico de 1 0 0 0 é 1 0 0 0. O autovalor é com multiplicidade 4. Os autovetores associados a são múltiplos de . Uma base para o autoespaço é e a dimensão desse autoespaço é 1.