A matriz de projeção P é caracterizada por ser idempotente, nesse caso, quais seriam as raízes características associadas a esse tipo de matriz? Quais seriam os possíveis sinais da forma quadrática associadas a esse tipo de matriz?

Passo 1

Beleza, vamos encarar esse exercício juntos! A gente precisa entender sobre matrizes de projeção, que são matrizes idempotentes. A pergunta quer saber quais são os valores próprios (raízes características) dessas matrizes e quais são os possíveis sinais da forma quadrática associada a elas. Para resolver isso, vamos precisar de conceitos de álgebra linear, especificamente sobre matrizes idempotentes e formas quadráticas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma matriz ser idempotente. Uma matriz é idempotente se ela satisfaz a condição . Isso quer dizer que, quando você multiplica a matriz por ela mesma, o resultado é a própria matriz.

Passo 3

Agora, vamos falar sobre valores próprios (ou autovalores). Para encontrar os valores próprios de uma matriz det(P - lambda I) = 0 , a gente resolve a equação característica:
onde é a matriz identidade e são os valores próprios.

Passo 4

Como P^2 v = P (lambda v) = lambda P v = lambda^2 v é idempotente ( P v = lambda^2 v ), podemos substituir lambda v = lambda^2 v por lambda^2 - lambda = 0 Rightarrow lambda (lambda - 1) = 0 na equação característica. Vamos considerar um vetor próprio tal que . Aplicando de novo:
Mas sabemos que , então:
Comparando com , temos:
Isso implica que:

Passo 5

Então, os valores próprios satisfazem , ou seja, ou . Portanto, os únicos valores próprios de uma matriz idempotente são 0 e 1.

Passo 6

Agora, vamos falar sobre a forma quadrática associada à matriz v^T P v . A forma quadrática é dada por:
Os sinais dessa forma quadrática dependem dos valores próprios da matriz. Como os únicos valores próprios são 0 e 1, a forma quadrática pode ser:
  • Não negativa: Se todos os valores próprios são não negativos (no nosso caso, 0 ou 1).
  • Não positiva: Se todos os valores próprios são não positivos, o que não é o caso aqui.
  • Indefinida: Se há valores próprios positivos e negativos, o que também não ocorre aqui.

Resposta

Os valores próprios de uma matriz idempotente são 0 e 1. A forma quadrática associada a essa matriz é não negativa.

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