A matriz de projeção
é caracterizada por ser idempotente, nesse caso, quais seriam as raízes características associadas a esse tipo de matriz? Quais seriam os possíveis sinais da forma quadrática associadas a esse tipo de matriz?
Passo 1
Beleza, vamos encarar esse exercício juntos! A gente precisa entender sobre matrizes de projeção, que são matrizes idempotentes. A pergunta quer saber quais são os valores próprios (raízes características) dessas matrizes e quais são os possíveis sinais da forma quadrática associada a elas. Para resolver isso, vamos precisar de conceitos de álgebra linear, especificamente sobre matrizes idempotentes e formas quadráticas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma matriz ser idempotente. Uma matriz
é idempotente se ela satisfaz a condição
. Isso quer dizer que, quando você multiplica a matriz por ela mesma, o resultado é a própria matriz.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre valores próprios (ou autovalores). Para encontrar os valores próprios de uma matriz
, a gente resolve a equação característica:
onde
é a matriz identidade e
são os valores próprios.
Passo 4
Como
é idempotente (
), podemos substituir
por
na equação característica. Vamos considerar um vetor próprio
tal que
. Aplicando
de novo:
Mas sabemos que
, então:
Comparando com
, temos:
Isso implica que:
Passo 5
Então, os valores próprios
satisfazem
, ou seja,
ou
. Portanto, os únicos valores próprios de uma matriz idempotente são 0 e 1.
Passo 6
Agora, vamos falar sobre a forma quadrática associada à matriz
. A forma quadrática é dada por:
Os sinais dessa forma quadrática dependem dos valores próprios da matriz. Como os únicos valores próprios são 0 e 1, a forma quadrática pode ser:
- Não negativa: Se todos os valores próprios são não negativos (no nosso caso, 0 ou 1).
- Não positiva: Se todos os valores próprios são não positivos, o que não é o caso aqui.
- Indefinida: Se há valores próprios positivos e negativos, o que também não ocorre aqui.
Resposta
Os valores próprios de uma matriz idempotente são 0 e 1. A forma quadrática associada a essa matriz é não negativa.
Exercícios relacionados
Nos exercícios
, determine o polinômio característico de cada operador linear, encontre seus autovalores e autovetores e dê uma base e a dimensão de cada autoespaço correspondente.
.
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, onde
representa a transposta da matriz
.
Para quais valores de
, os operadores
e
são diagonalizáveis?
Verifique se os sistemas são possíveis e, em seguida, resolva-os, se possível, utilizando a regra de Cramer: